Carmichael-Zahl

Eine natürliche Zahl heißt Carmichael-Zahl, benannt nach dem Mathematiker Robert Daniel Carmichael, wenn sie eine fermatsche Pseudoprimzahl bezüglich aller zu ihr teilerfremden Basen ist. Carmichael-Zahlen spielen eine Rolle bei der Analyse von Primzahltests.

Jede Carmichael-Zahl ist quadratfrei und das Produkt mindestens dreier Primzahlen. Die kleinste Carmichael-Zahl ist die Zahl 561 = 3·11·17. Im Jahr 1994 bewiesen Carl Pomerance, W. R. Alford und Andrew Granville die Existenz unendlich vieler Carmichael-Zahlen.^[1]

Einleitung

Es ist einfach, eine Carmichael-Zahl zu erkennen, wenn man ihre Primfaktorzerlegung kennt. Dies ist dem Satz von Korselt zu verdanken (siehe weiter unten). Es ist auch relativ einfach, Carmichael-Zahlen zu erzeugen, zumal Algorithmen wie der nach J. Chernick existieren. Problematisch ist es aber – gerade bei großen Zahlen – zu erkennen, ob es sich bei einer Zahl um eine Carmichael-Zahl handelt. Diese Schwierigkeit haben die Carmichael-Zahlen mit den Primzahlen gemeinsam, denn entweder man führt eine Faktorisierung durch, oder man wendet den kleinen fermatschen Satz auf die Zahl an, wobei man für die Basen, die nicht auf eine Primalität weisen und die bei Primzahlen nicht vorkommen, auf Teilbarkeit testen muss.

Definition

Definition
Eine zusammengesetzte natürliche Zahl n heißt Carmichael-Zahl, falls für alle zu n teilerfremden Zahlen a die folgende Kongruenz erfüllt ist:

$a^{n-1} \equiv 1 \mod n$ .

Beispiel
Wie erwähnt, ist 561 = 3·11·17 die kleinste Carmichael-Zahl. Für alle Basen a, die keinen Primfaktor mit 561 gemeinsam haben, gilt nämlich a⁵⁶⁰ ≡ 1 mod 561.

561 ist durch 3, 11, 17, 33, 51 und 187 teilbar. Für diese Teiler gilt die Kongruenz jedoch nicht: 3⁵⁶⁰ ≡ 375 mod 561, 11⁵⁶⁰ ≡ 154 mod 561, 17⁵⁶⁰ ≡ 34 mod 561, usw.

Satz von Korselt

Bereits im Jahr 1899 bewies Alwin Reinhold Korselt folgenden Satz:

Eine natürliche Zahl n ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn sie quadratfrei ist und für alle ihre Primteiler p gilt, dass p - 1 die Zahl n - 1 teilt.

Verschärfung
Aufgrund der Identität n-1 = n/p - 1 + (p-1)·n/p gilt für jeden Primteiler p einer natürlichen Zahl n:

n-1 ≡ n/p - 1 mod p-1.

Somit lässt sich der zweite Teil von Korselts Satz auch formulieren als: Eine Zahl n ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: p-1 teilt n/p - 1.

Carmichael hat dann 1910 mit 561 die erste Zahl gefunden, die den Eigenschaften des Theorems von Korselt entspricht.

Die Folge der Carmichael-Zahlen

Carmichael-Zahlen haben mindestens drei Primfaktoren. Wie in der Einleitung erwähnt weiß man seit 1994, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt. Die Folge der Carmichael-Zahlen beginnt so:

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, … (Folge A002997 in OEIS)

Die kleinste Carmichael-Zahl mit 4 Primfaktoren ist 41041 = 7·11·13·41.

Erzeugung von Carmichael-Zahlen

Methode von Chernick

J. Chernick fand 1939 ein relativ einfaches System, um Carmichael-Zahlen zu konstruieren:

Falls die drei Zahlen 6m + 1, 12m + 1 und 18m + 1 Primzahlen sind, so ist ihr Produkt (6m + 1)(12m + 1)(18m + 1) eine Carmichael-Zahl.^[2]

Beispielsweise hat 1729 = 7·13·19 diese Struktur. Interessant ist, dass die Carmichael-Zahl 172081 = 31·61·91 die Bedingung „fast erfüllt“: 91 ist nicht prim, aber fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 3.

Methode von Michon

Gérard P. Michon fand eine ähnliche Methode, um Carmichael-Zahlen zu konstruieren:

Wenn m ≡ 326 mod 616 und die drei Zahlen 7m + 1, 8m + 1 und 11m + 1 Primzahlen sind, so ist ihr Produkt (7m+1)·(8m+1)·(11m+1) eine Carmichael-Zahl.

m muss dann durch 3 teilbar sein, da sonst einer der drei Faktoren durch 3 teilbar ist.
Beispiel: für m = 24966 sind die drei Zahlen 174763, 199729 und 274627 prim und ihr Produkt ist eine Carmichael-Zahl.
Eine mit dieser Methode erzeugte Carmichael-Zahl mit 1000 Stellen ist

(12936*10³²⁹ - 59827428149)·(14784*10³²⁹ - 68374203599)·(20328*10³²⁹ - 94014529949).

Asymptotische Anzahl

Paul Erdös vermutete bereits 1956, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt, und dass für ihre Anzahl C(x) unterhalb einer Schranke x kein Exponent a < 1 existiert mit C(x) < x^a bei beliebig großem x.^[3]

Der Beweis von Alford/Granville/Pomerance liefert die untere Abschätzung der Anzahlfunktion C(x) > x^{2 / 7} für alle hinreichend großen x. Dieses Ergebnis wurde im Jahr 2005 verbessert zu C(x) > x^0.33 für hinreichend große x.^[4] Rechnungen bis x = 10¹⁵ legen ein Wachstum mit der unteren Abschätzung x^{1 / 3} nahe, so dass Daniel Shanks überzeugt war, x^{1 / 2} sei eine sehr sichere obere Abschätzung für die Anzahlfunktion. Er ließ sich jedoch durch Diskussion mit den genannten Autoren davon überzeugen, dass die Vermutung von Erdös der wahren Asymptotik entsprechen könnte. Im Jahre 2002 publizierten Granville und Pomerance eine Analyse der Verteilung der Carmichael-Zahlen, die das Argument von Erdös unterstützt.^[5]

Quellen

1. ↑ W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance: There are Infinitely Many Carmichael Numbers, Ann. Math. 139, 703-722, 1994.
2. ↑ Zum (einfachen) Beweis siehe Eric W. Weisstein: "Carmichael number" (→ Weblinks).
3. ↑ Siehe Crandall, Pomerance: Prime Numbers, S. 122
4. ↑ Glyn Harman: On the number of Carmichael numbers up to x, Bull. London Math. Soc. 37, 641–650, 2005.
5. ↑ A. Granville, C. Pomerance: Two contradictory conjectures concerning Carmichael numbers, Math. Comp. 71, 883–908, 2002, online

Literatur

• Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94457-5.
• Richard Crandall, Carl Pomerance: Prime Numbers. A Computational Perspective. Springer, New York NY u. a. 2001, ISBN 0-387-94777-9.

Siehe auch

• Lucas-Carmichael-Zahl

Weblinks

•  Wikibooks: Tabelle von Carmichael-Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien
• Eric W. Weisstein: "Carmichael number" (MathWorld)
• G. J. O. Jameson: Finding Carmichael numbers. und Carmichael numbers with three prime factors. (pdf, engl.)