Glückliche Zahl

Glückliche Zahl

Glückliche Zahlen sind natürliche Zahlen, die mit einem bestimmen Siebprinzip erzeugt werden. Das Siebprinzip ähnelt dem Sieb des Eratosthenes zur Bestimmung von Primzahlen.

Inhaltsverzeichnis

Ursprung

Die glücklichen Zahlen sind 1955 von Stanislaw Ulam nach einer Begebenheit benannt worden, die in einer Geschichte des Josephus vorkommt: Bei einer Belagerung wollen die belagerten Soldaten nicht in die Hände der Feinde fallen und sich vorher umbringen. Einer der Soldaten will dieses nicht tun und sich und einen Freund retten. Dazu fällt ihm eine Möglichkeit in Form einer rituellen Selbsttötung ein. Die Gruppe stellt sich in einer Reihe auf, dann tötet sich jeder zweite, in der nächsten Runde jeder dritte und so weiter. Durch das richtige Aufstellen konnten sich also der Mann und sein Freund retten (Josephus-Problem).

Erläuterung

Animation zum Siebprinzip mit den natürlichen Zahlen bis 120. Die übrig gebliebenen roten Zahlen sind die glücklichen.

Genau wie bei dem Sieb des Eratosthenes fängt man mit allen natürlichen Zahlen an, nur dass im Gegensatz zum Sieb des Eratosthenes die Zahl 1 mit einbezogen wird, hier für die natürlichen Zahlen bis 30 demonstriert.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Die 1 ist definitionsgemäß glücklich. Die Folge wird nun schrittweise verändert: Zuerst wird jede zweite Zahl gestrichen. Somit werden genau die geraden Zahlen entfernt:

1 * 3 * 5 * 7 * 9 ** 11 ** 13 ** 15 ** 17 ** 19 ** 21 ** 23 ** 25 ** 27 ** 29 **

Die Zahl 3 ist nun die zweite (nichtgestrichene) Zahl. Jetzt wird jede dritte noch stehende Zahl entfernt:

1 - 3 - * - 7 - 9 -- ** -- 13 -- 15 -- ** -- 19 -- 21 -- ** -- 25 -- 27 -- ** --

Die nächste nichtgestrichene Zahl ist dann die 7; d.h. nun wird jede siebte noch stehende Zahl (also die 19) gestrichen. Anschließend wird jede neunte, 13., 15., ... Zahl gestrichen. Wenn man so weiter macht, ergibt sich die Folge der glücklichen Zahlen als all die Zahlen, die nie gestrichen werden:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (Folge A000959 in OEIS)

Weiteres

Die Primzahlen, die glückliche Zahlen sind, nennt man glückliche Primzahlen:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997, 1009, ... (Folge A031157 in OEIS)

Es ist unbekannt, ob unendlich viele glückliche Primzahlen existieren.

Die asymptotische Dichte der glücklichen Zahlen ist 1 / ln N (vgl. Primzahlsatz).

Es gibt auch eine zur Goldbachschen Vermutung analoge Vermutung.

Weblinks


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