Gemischte Strategie

Der Begriff der gemischten Strategie wird in der Spieltheorie als Verallgemeinerung des Begriffes der (reinen) Strategie verwendet. Eine Strategie ist eine vor einem Spiel erfolgte Festlegung eines vollständigen Handlungsplans.^[1] Bei einer gemischten Strategie trifft der Spieler keine direkte Entscheidung, sondern er wählt einen Zufallsmechanismus, der eine reine Strategie bestimmt.^[2] Die konkrete Entscheidung unterliegt damit keinerlei strategischen Erwägungen, sondern ist rein zufällig.

Gemischte Strategien wurden erstmals von Émile Borel (1921) und John von Neumann (1928) verwendet.^[3]

Existenz eines Nash-Gleichgewichts unter gemischten Strategien

Bei einigen Normalform-Spielen gibt es im Bereich der reinen Strategien kein Nash-Gleichgewicht. Das heißt, es gibt keine Strategiekombination, von der ausgehend kein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine Strategie verändert. Jedoch besitzt jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.^[4] Ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien besteht folglich aus einer gemischten Strategie für jeden Spieler, mit der Eigenschaft, dass die gemischte Strategie eines jeden Spielers die beste Antwort auf die gemischten Strategien der anderen Spieler bildet.^[5]

Beispiel

2 Spieler haben je eine schwarze und eine weiße Murmel. Die Regeln lauten: Spieler A gewinnt, wenn die Farben der Murmeln beim Ziehen gleich sind (schwarz-schwarz oder weiß-weiß). Spieler B gewinnt, wenn die Farben der Murmeln unterschiedlich sind (weiß-schwarz oder schwarz-weiß). Wie könnte die Strategie von Spieler A aussehen? Wählt er die schwarze Murmel, wird Spieler B immer die Weiße wählen und Spieler A verliert. Selbst wenn Spieler A seine Strategie ändert und sich für die weiße Murmel entscheidet, ändert Spieler B seine Strategie ebenfalls und wählt diesmal als Antwort schwarz – A verliert wieder.

Beginnt Spieler B, wird Spieler A seine Strategie ebenfalls anpassen. Daraus folgt, dass kein Spieler durch die richtige Kombination von Murmeln einen Vorteil erzielen kann. Wenn der Gegner die Strategie errät, kann er immer eine passende Gegenstrategie wählen, die ihm den Sieg sichert und umgekehrt.

Spieler A/ Spieler B	schwarz	weiß
schwarz	1, −1	−1, 1
weiß	−1, 1	1, −1

In diesem beschriebenen Spiel kann es kein Nash-Gleichgewicht geben, wenn beide Spieler eine reine Strategie wählen. Abhilfe kann nur eine randomisierte Auswahl sein, also ein Spiel mittels zufälliger Auswahl der Vorgehensweisen.^[6] Nur wenn beide Spieler rein zufällig mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die weiße oder schwarze Murmel nehmen, gäbe es für keinen den Anreiz von dieser zufälligen Strategie abzuweichen und es entsteht zwangsläufig ein Nash-Gleichgewicht.

Der Beweis:

$\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right]\cdot{\frac{1}{2}\atop\frac{1}{2}}=0$

Praktisch lässt sich das Problem beim oben beschriebenen Beispiel so lösen, dass beide Spieler die Murmeln aus einem abgedunkelten Gefäß ziehen (Urnenziehung).

Literatur

• Harald Wiese: Entscheidungs- und Spieltheorie, S. 199, Springer Verlag, Berlin, 2001, ISBN 3540427473
• Christian Rieck: Spieltheorie: Eine Einführung, Christian Rieck Verlag, Eschborn, 2008, ISBN 3-924043-91-4
• Manfred J. Holler Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie, Springer Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3540693727
• Robert S. Pindyck/ Daniel L. Rubinfeld: Mikroökonomie, Pearson Studium, München, 2003, ISBN 3-8273-7025-6
• Gernot Sieg: Spieltheorie, Oldenbourg Verlag, München, 2005, ISBN 978-3486275261
• Jörg Bewersdorff: Mit Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel- Methoden, Ergebnisse und Grenzen, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2007, ISBN 3-8348-0087-2

Belege

1. ↑ Robert S. Pindyck/ Daniel L. Rubinfeld: Mikroökonomie, S. 662, Pearson Studium, München, 2003, ISBN 3-8273-7025-6.
2. ↑ Manfred J. Holler Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie, Springer Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3540693727.
3. ↑ Jörg Bewersdorff: Mit Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel- Methoden, Ergebnisse und Grenzen, S. 250, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2007, ISBN 3-8348-0087-2.
4. ↑ Harald Wiese: Entscheidungs- und Spieltheorie, S. 199, Springer Verlag, Berlin, 2001, ISBN 3540427473.
5. ↑ Gernot Sieg: Spieltheorie, S. 17, Oldenbourg Verlag, München, 2005, ISBN 978-3486275261.
6. ↑ Christian Rieck: Spieltheorie: Eine Einführung, S. 78, Christian Rieck Verlag, Eschborn, 2008, ISBN 3-924043-91-4.