- Gleichmäßige Stetigkeit
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Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis. Er bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei D eine Teilmenge aus
, kurz
.
Eine Abbildung
heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn
0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D:\,|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon" border="0">.
Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von D gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.
Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass δ nur von ε und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle x0 abhängt.
Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite ε kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite δ finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten ε;δ geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf
).
Beispiele
Betrachte die Funktion
mit f(x) = x2 (s. Abbildung).
Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man zwei Punkte mit einem Abstand kleiner als δ wählt, desto größer wird der Abstand der beiden Funktionswerte. Dies entspricht nicht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: der Abstand der Funktionswerte muss für jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes
sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.
Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von f auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Der Beweis lässt sich mit dem Satz von Heine führen.
Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion
mit
die gleichmäßig stetig, sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig ist.
Verallgemeinerung: metrische Räume
Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:
Seien (X,dx),(Y,dy) zwei metrische Räume. Eine Abbildung
heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn
0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in X:d_x(x, x_0)<\delta\Rightarrow d_y(f(x), f(x_0))<\varepsilon" border="0">.
Verallgemeinerung: uniforme Räume
Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion
zwischen zwei uniformen Räumen
und
gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also
Eigenschaften
Es gilt: Ist f gleichmäßig stetig auf einer Menge M, dann ist f auch stetig in jedem Punkt
und sogar stetig fortsetzbar auf den Abschluss
. Umgekehrt gibt es jedoch stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind.
Ein einfaches Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger Stetigkeit ist der Satz von Heine: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.
Ist
eine Cauchy-Folge im Raum M und ist
gleichmäßig stetig, so ist auch
eine Cauchy-Folge in N. Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel
und
zeigt.
Im
: Polstellen kann es auf einer gleichmäßig stetigen Funktion nicht geben, da bei gegen unendlich strebender Steigung der Abstand der Funktionwerte beliebig groß wird, also kein reelles δ existieren kann.
Spezielle Formen der gleichmäßigen Stetigkeit sind Hölder- und Lipschitz-Stetigkeit.
Siehe auch
Quellen
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.
- Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.
- Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.
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