Satz von Heine

Der Satz von Heine (nach Eduard Heine; oder auch Satz von Heine-Cantor) aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktionen. Er wurde 1872 von Eduard Heine bewiesen^[1] und nach ihm benannt, nach Aussage von Jürgen Heine wurde diese Tatsache jedoch schon zuvor von Karl Weierstraß entdeckt.^[2]

Aussage

Ist eine Funktion f im kompakten Intervall [a,b] stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.

Mit anderen Worten: Zu einem beliebigen $\varepsilon > 0$ existiert ein δ = δ(ε) > 0 derart, dass für zwei beliebige Stellen x₁ und x₂ aus dem Intervall [a,b] mit | x₂ − x₁ | < δ gilt:

| f(x₂) − f(x₁) | < ε.

Beweis

Ein typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch. Ist f nicht gleichmäßig stetig, so gibt es ein $\varepsilon > 0$ und zu jedem $n \in \mathbb{N}$ Punkte $x_n, x_n' \in [a,b]$, so dass

$| x_n - x_n' | < \frac{1}{n}$ und $| f(x_n) - f(x_n') | \geq \varepsilon.$

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$, deren Grenzwert x im Intervall [a,b] enthalten ist. Dieser ist wegen

$|x_{n_k} - x_{n_k}' | < \frac{1}{n_k}$

ebenfalls Grenzwert der Folge $(x_{n_k}')_{k\in\mathbb{N}}$. Aus der Stetigkeit von f folgt $f(x_{n_k})\to f(x)$ und $f(x_{n_k}')\to f(x)$. Daher gibt es ein k₀, so dass $| f(x_{n_k}) - f(x) | < \varepsilon/2$ und $| f(x_{n_k}') - f(x) | < \varepsilon/2$ für alle $k\ge k_0$. Daraus folgt nun

$| f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') | = | (f(x_{n_k}) - f(x)) +(f(x) - f(x_{n_k}')) | \leq | (f(x_{n_k}) - f(x))| + |(f(x) - f(x_{n_k}')) | <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ für alle $k\ge k_0$,

im Widerspruch zu $|f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') | \geq \varepsilon$ für alle k. Daher war die gemachte Annahme falsch und es folgt die gleichmäßige Stetigkeit.

Verallgemeinerung

Mit einem nahezu identischen Beweis verallgemeinert sich dieser Satz auf kompakte metrische Räume:

Ist K ein kompakter metrischer Raum, M ein metrischer Raum und $f:K\rightarrow M$ stetig, so ist f gleichmäßig stetig.

Gegenbeispiel

Für nicht-kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch. Die Funktion $f:(0,1]\rightarrow \R$, $x \mapsto \tfrac{1}{x}$ ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. In der Tat gibt es zu ε = 1 kein δ > 0, das die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. Ist nämlich δ > 0 beliebig, so gibt es $n\in\N$ mit $\tfrac{1}{n} < \delta$. Dann folgt

$\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n(n+1)} < \delta$,

aber

$\left|f\left(\frac{1}{n+1}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = |(n+1)-n| = 1 \ge \varepsilon$.

Also kann f nicht gleichmäßig stetig sein.

Einzelnachweise

1. ↑ E. Heine: Die Elemente der Funktionenlehre. Journal für die Mathematik von C.W. Borchardt, LXXIV:172-188, Berlin 1872
2. ↑ J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.