Stone-Čech-Kompaktifizierung

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung ist eine Konstruktion der Topologie zur Einbettung eines topologischen Raumes X in einen kompakten Hausdorff-Raum. Die Stone–Čech-Kompaktifizierung βX eines topologischen Raumes X ist der "größte" kompakte Hausdorff-Raum, der X als dichte Teilmenge "enthält". Präzise ausgedrückt bedeutet das, dass jede Abbildung von X in einen kompakten Hausdorff-Raum bezüglich βX eindeutig faktorisierbar ist. Wenn X ein Tychonoff-Raum ist, dann ist die Abbildung $X \rightarrow \beta X$ ein Homöomorphismus auf ihr Bild. Man kann sich X also als dichten Unterraum von βX vorstellen.

Man benötigt das Auswahlaxiom (etwa in Form des Satzes von Tychonoff) um zu zeigen, dass jeder topologische Raum eine Stone–Čech-Kompaktifizierung besitzt. Auch für sehr einfache Räume X ist es sehr schwer eine konkrete Angabe von βX zu bekommen. Zum Beispiel ist es unmöglich einen expliziten Punkt aus $\beta \mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ anzugeben.

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung wurde von Marshall Stone (1937) und Eduard Čech (1937) gefunden.

Universelle Eigenschaft und Funktorialität

βX ist ein kompakter Hausdorff-Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung $\iota_X: X\to\beta X$ mit folgender universellen Eigenschaft: Für jeden kompakten Hausdorff-Raum K und jede stetige Abbildung $f: X\rightarrow K$ gibt es eine eindeutig bestimmte, stetige Abbildung $\beta f: \beta X\to K$, sodass $f=\beta f\circ \iota_X$.

Die Abbildung ι_X kann man als "Einbettung" von X in βX aufgefasst werden. In vielen Fällen ist sie sogar im wörtlichen Sinne eine Einbettung, d.h. ein Homöomorphismus auf ihr Bild. Die Abbildung βf kann in dieser Sprechweise als "Fortsetzung" von f auf ganz βX aufgefasst werden.

Da βX selbst ein kompakter Hausdorff-Raum ist, folgt aus der universellen Eigenschaft, dass βX und ι_X bis auf einen natürlichen Homöomorphismus eindeutig bestimmt sind.

Manche Autoren nehmen an, dass der Ausgangsraum ein Tychonoff-Raum (oder auch ein lokalkompakter Hausdorff-Raum) sein soll. Dies hat folgende Gründe:

• Die Abbildung ι_X ist ein Homöomorphismus auf ihr Bild genau dann, wenn X ein Tychonoff-Raum ist.
• Die Abbildung ι_X ist ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge von βX genau dann, wenn X ein lokal kompakter Hausdorff-Raum ist.

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung kann für allgemeinere Räume konstruiert werden, jedoch muss die Abbildung ι_X dann keine Einbettung mehr sein. Sie ist im Allgemeinen nicht einmal injektiv.

Die Erweiterungseigenschaft macht aus β einen Funktor von Top (die Kategorie der topologischen Räume) oder auch Tych (die Kategorie der Tychonoff-Räume) in CHaus (die Kategorie der kompakten Hausdorffräume). Wenn wir U den Inklusionsfunktor von CHaus nach Top bzw. Tych setzen, erhalten wir, dass die stetigen Abbildungen von $\beta X\to K$(K aus CHaus) in natürlicher Bijektion sind zu den stetigen Abbildungen $X\to UK$ (Wenn man die Einschränkung auf ι_X(X) betrachtet und die Universelle Eigenschaft von βX benutzt). Das heißt $\operatorname{Hom}(\beta X, K)=\operatorname{Hom}(X,UK)$, was bedeutet, dass β linksadjungiert zu U ist.

Konstruktionen

Konstruktion mittels Produkten

Eine Möglichkeit die Stone–Čech-Kompaktifizierung von X zu erzeugen ist, den Abschluss des Bildes von X in

$\prod C$

zu nehmen. Hierbei sei das Produkt über alle Abbildungen von X in kompakte Hausdorff-Räume C. Dies funktioniert formal, aber ist technisch nicht durchführbar, da die Zusammenfassung aller solcher Abbildungen eine Klasse und keine Menge ist, dieses Produkt also gar nicht existiert. Es gibt verschiedene Wege, diese Idee so zu verändern, dass es funktioniert. Zum Beispiel kann man nur solche C in das Produkt einbeziehen, die auf einer Teilmenge von $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$ definiert sind. Die Kardinalität von $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$ ist größer gleich der Kardinalität jedes kompakten Hausdorff-Raumes ist, in welchen man X mit dichtem Bild abbilden kann.

Konstruktion mit dem Einheitsintervall

Eine Möglichkeit βX zu konstruieren, besteht darin, die Abbildung

$\iota:=\begin{cases}X \to [0,1]^{C(X)} \\ x \mapsto ( f(x) )_{f \in C(X)}\end{cases}$

zu benutzen, wobei C(X) die Menge aller stetigen Abbildungen $X\to[0,1]$ ist. Nach dem Satz von Tychonoff folgt nun, dass [0,1]^C(X) kompakt ist, da [0,1] kompakt ist. Der Abschluss βX: = ι(X) in [0,1]^C(X) ist also ein kompakter Hausdorff-Raum. Wir zeigen dass dieser zusammen mit der Abbildung

$\iota_X:\begin{cases} X\to\beta X \\ x\mapsto \iota(x)\end{cases}$

die universelle Eigenschaft der Stone-Cech-Kompaktifizierung erfüllt.

Wir betrachten zunächst K = [0,1]. In diesem Fall ist die gewünschte Fortsetzung von $f: X \rightarrow [0,1]$ die Projektion auf die f-Koordinate in [0,1]^C(X).

Ist K ein beliebiger kompakter Hausdorff-Raum, so ist er nach der obigen Konstruktion homöomorph zu βK. Die Injektivität der Einbettung folgt dabei aus dem Lemma von Urysohn, die Surjektivität und die Kontinuität der Inversen aus der Kompaktheit von K. Es genügt nun $f: X \rightarrow Y \cong \beta Y \subset [0,1]^{C(Y)}$ komponentenweise fortzusetzen.

Die in diesem Beweis benötigte universelle Eigenschaft des Einheitsintervalls ist dass es ein Kogenerator der Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume ist. Das bedeutet dass es für zwei beliebige unterschiedliche Morphismen $f,g: A \rightarrow B$ einen Morphismus $h: B\rightarrow [0,1]$ gibt, sodass $h \circ f$ und $h \circ g$ unterschiedlich sind. Statt [0,1] hätte man also jeden beliebigen Kogenerator oder jede kogeneriende Menge verwenden können.

Konstruktion mittels Ultrafilter

Alternativ gilt, ist X disrekt, dann kann man βX als die Menge aller Ultrafilter auf X mit der Stone-Topologie konstruieren. Die Einbettung von X erfolgt dann, indem man die Elemente aus X mit den Einpunktfiltern identifiziert. Diese Konstruktion stimmt für diskrete Räume mit der Wallman-Kompaktifizierung überein.

Wieder muss man die universelle Eigenschaft überprüfen: Sei F ein Ultrafilter auf X. Dann gibt es zu jeder Abbildung $f: X \rightarrow K$, mit K kompakter Hausdorff-Raum, einen Ultrafilter f(F) auf K. Dieser Ultrafilter hat einen eindeutigen Grenzwert $x\in K$, weil K kompakt und hausdorff ist. Nun definiert man βf(F) = x und man kann zeigen, dass dies eine stetige Fortsetzung von f ist.

Äquivalent dazu kann man den Stone-Raum der vollständigen Booleschen Algebra aller Teilmengen von X als die Stone–Čech-Kompaktifizierung nehmen. Dies ist wirklich dieselbe Konstruktion, da der Stone-Raum dieser Booleschen Algebra die Menge der Ultrafilter oder äquivalent der Primideale, (oder Homomorphismen in die zweielementige Boolesche Algebra) der Booleschen Algebra ist, was dasselbe ist wie die Menge der Ultrafilter auf X.

Konstruktion mittels C*-Algebren

Wenn X ein vollständig regulärer Raum ist, kann man die Stone–Čech Kompaktifizierung mit dem Spektrum von C_b(X) identifizieren. Hier steht C_b(X) für die kommutative C*-Algebra aller stetigen und beschränkten Abbildungen $X\rightarrow {\mathbb C}$ mit der Supremumsnorm. Das Spektrum $\tilde{X}$ ist die Menge der multiplikativen Funktionale mit der Teilraumtopologie der schwach-*-Topologie des Dualraums von C_b(X), beachte $\tilde{X}\subset C_{b}(X)'$. Für jedes $x\in X$ ist $\delta_x: C_{b}(X)\rightarrow {\mathbb C},\, \delta_x(f) := f(x)$ ein multiplikatives Funktional. Identifiziert man $x\in X$ mit $\delta_x\in \tilde{X}$, so erhält man $X\subset\tilde{X}$, und man kann zeigen, dass $\tilde{X}$ homöomorph zur Stone–Čech Kompaktifizierung βX ist.

Siehe auch

• Kompaktifizierung

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
• Skript zur Mengentheoretische Topologie (im PDF-Format, deutsch) (1,72 MB)