Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder R-Algebra (wobei R ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Explizite Definition

Seien R ein kommutativer Ring und A ein R-Modul. Die Multiplikation ist eine bilineare, zweistellige Verknüpfung

$A\times A\to A,$

d.h., für beliebige Elemente $x,y,z\in A$ und Skalare $\lambda\in R$ gilt

• $(x+y)\cdot z = xz + yz,$
• $x\cdot(y+z) = xy + xz,$
• $\lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y).$

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines Einselements der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt.

Beispiele

• Jeder Ring ist eine $\mathbb Z$-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen.
• Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.

Literatur

• Serge Lang: Algebra, (Rev. 3rd ed.), New York: Springer 2002, ISBN 0-387-95385-X