- Algebraische Gruppe
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Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.
Definition
Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät G über einem Körper k zusammen mit
- einem Morphismus
(Multiplikation)
- einem Morphismus
(inverses Element)
- und einem ausgezeichneten Punkt
(neutrales Element),
so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Assoziativgesetz:
;
- neutrales Element:
;
- inverses Element:
; dabei ist
die Inklusion der Diagonale und
der Strukturmorphismus.
Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass (m,i,e) für jedes k-Schema T auf der Menge G(T) der T-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.
Beispiele
- Die additive Gruppe
:
mit der Addition als Gruppenstruktur.
- Die multiplikative Gruppe
:
mit der Multiplikation als Gruppenstruktur.
- Die allgemeine lineare Gruppe GLn:
; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren
-Matrizen mit Einträgen im Ring
. GL1 kann mit
identifiziert werden.
- Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
- einem Morphismus
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