Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät G über einem Körper k zusammen mit

• einem Morphismus $m\colon G\times G\to G$ (Multiplikation)
• einem Morphismus $i\colon G\to G$ (inverses Element)
• und einem ausgezeichneten Punkt $e\in G(k)$ (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Assoziativgesetz: $m\circ(m\times\mathrm{id}_G)=m\circ(\mathrm{id}_G\times m)$;
• neutrales Element: $m\circ(\mathrm{id}_G\times e)=\mathrm{id}_G=m\circ(e\times\mathrm{id}_G)$;
• inverses Element: $m\circ(i\times\mathrm{id}_G)\circ\Delta_G=e\circ\xi=m\circ(\mathrm{id}_G\times i)\circ\Delta_G$; dabei ist $\Delta_G\colon G\to G\times G$ die Inklusion der Diagonale und $\xi\colon G\to k$ der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass (m,i,e) für jedes k-Schema T auf der Menge G(T) der T-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

• Die additive Gruppe $\mathbb G_{\mathrm a}$: $\mathbb G_{\mathrm a}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T)$ mit der Addition als Gruppenstruktur.
• Die multiplikative Gruppe $\mathbb G_{\mathrm m}$: $\mathbb G_{\mathrm m}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T^\times)$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur.
• Die allgemeine lineare Gruppe GL_n: $\mathrm{GL}_n(T)=\mathrm{GL}_n(\Gamma(T,\mathcal O_T))$; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Einträgen im Ring $\Gamma(T,\mathcal O_T)$. GL₁ kann mit $\mathbb G_{\mathrm m}$ identifiziert werden.
• Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.