Allgemeine lineare Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe GL(n,K) vom Grad n über einem Körper K ist die Gruppe aller regulären $n \times n$-Matrizen mit Koeffizienten aus K. Gruppenverknüpfung ist die Matrixmultiplikation. Die Bezeichnung GL kommt von der Abkürzung der englischen Bezeichnung „general linear group“.

Wenn der Körper K ein endlicher Körper $\Bbb F_q$ mit einer Primzahlpotenz q ist, so schreibt man auch GL(n,q) statt GL(n,K). Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper $\R$ der reellen oder $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch GL(n) oder GL_n.

Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien.

Allgemeine lineare Gruppe über einem Vektorraum

Wenn V ein Vektorraum über einem Körper K ist, schreibt man GL(V) oder Aut(V) für die Gruppe aller Automorphismen von V, also aller bijektiven linearen Abbildungen $V \to V$, mit der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Gruppenverknüpfung.

Wenn V die endliche Dimension n hat, sind GL(V) und GL(n,K) isomorph. Für eine gegebene Basis des Vektorraums V kann jeder Automorphismus von V durch eine invertierbare $n \times n$-Matrix dargestellt werden. Dadurch wird ein Isomorphismus von GL(V) auf GL(n,K) hergestellt.

Für $n \geq 2$ ist die Gruppe GL(n,K) nicht abelsch.

Das Zentrum von GL(n,K) besteht aus den Vielfachen der Einheitsmatrix (mit Skalaren aus $K\setminus\{0\}$).

Untergruppen von GL (n, K )

Jede Untergruppe von GL(n,K) wird eine lineare Gruppe genannt. Einige Untergruppen haben besondere Bedeutung.

• Die Untergruppe aller Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente alle ungleich 0 sind, beschreibt Reskalierungen des Raums.
• Diagonalmatrizen, bei denen alle Diagonalelemente übereinstimmen und nicht 0 sind, beschreiben in der Geometrie zentrische Streckungen. Die Untergruppe dieser Matrizen ist das Zentrum von GL(n,K). Nur im Trivialfall n = 1 ist sie mit GL(n,K) identisch.
• Die spezielle lineare Gruppe SL(n,K) enthält alle Matrizen mit der Determinante 1. SL(n,K) ist ein Normalteiler von GL(n,K); und die Faktorgruppe GL(n,K) / SL(n,K) ist isomorph zu $K^\times$, der Einheitengruppe von K (ohne die 0).
• Die orthogonale Gruppe O(n,K) enthält alle orthogonalen Matrizen.

Für $K = \mathbb{R}$ beschreiben diese Matrizen Automorphismen des $\mathbb{R}^n$, die die Euklidische Norm und das Skalarprodukt erhalten, also orthogonale Abbildungen.

Über den reellen und komplexen Zahlen

Die allgemeine lineare Gruppe GL(n) über dem Körper $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ ist eine Lie-Gruppe über dem Körper und hat die Dimension n².

Beweis:

GL(n) ist eine Untermenge der Mannigfaltigkeit Mat_n(K) aller $n \times n$-Matrizen, die ein Vektorraum der Dimension n² ist. Die Determinante ist eine stetige (sogar polynomiale) Abbildung $\mathrm{Mat}_n(K) \ \rightarrow \ K$. GL(n) ist als Urbild der offenen Teilmenge $K^\times$ von K eine offene, nicht leere Teilmenge von Mat_n(K) und hat deshalb die gleiche Dimension.

Die Lie-Algebra zu GL(n) ist die Allgemeine lineare Lie-Algebra gl(n) und sie besteht aus allen $n \times n$-Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Während $\mathrm{GL} (n,\mathbb{C})$ zusammenhängend ist, hat $\mathrm{GL} (n,\mathbb{R})$ zwei Zusammenhangskomponenten: die Matrizen mit positiver und die mit negativer Determinante. Die Zusammenhangskomponente mit positiver Determinante enthält das Einselement und bildet eine Untergruppe $\mathrm{GL} ^+(n, \mathbb{R} )$. Diese Untergruppe ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe mit reeller Dimension n² und hat dieselbe Lie-Algebra wie $\mathrm{GL} (n,\mathbb{R})$.

Über endlichen Körpern

Wenn K ein endlicher Körper mit q Elementen ist, dann ist GL(n,K) eine endliche Gruppe der Ordnung

$\prod_{i=0}^{n-1}\left(q^n-q^i\right)=\left(q^n-1\right)\cdot\left(q^n-q\right)\cdot\left(q^n -q^2\right)\cdots\left(q^n-q^{n-1}\right)$

Dieser Wert kann beispielsweise durch Abzählen der Möglichkeiten für die Matrixspalten ermittelt werden: Für die erste Spalte gibt es qⁿ − 1 Belegungsmöglichkeiten (alle außer der Nullspalte), für die zweite Spalte gibt es qⁿ − q Möglichkeiten (alle außer den Vielfachen der ersten Spalte), etc.

Projektive lineare Gruppe

Die projektive lineare Gruppe PGL(V) über einem Vektorraum V über einem Körper K ist die Faktorgruppe $\mathrm{GL} (V) /K^\times$, wobei $K^\times$ die normale Untergruppe der skalaren Vielfachen $k \cdot \mathrm{id}_V$ der Identität $\mathrm{id}: V \rightarrow V$ ist mit k aus $K \setminus \{0\}$. Die Bezeichnungen PGL(n,K) usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn K ein endlicher Körper ist, sind PGL(n,K) und SL(n,K) gleichmächtig, aber im allgemeinen nicht isomorph.

Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum n-dimensionalen projektiven Raum über K gehört dabei die Gruppe PGL(n + 1,K). Dies ist eine Verallgemeinerung der Gruppe der Möbiustransformationen, der $\mathrm{PGL}(2 , \mathbb C)$ .