- Hadamard-Matrix
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Eine Hadamard-Matrix vom Grad n ist eine -Matrix, die ausschließlich die Zahlen 1 und − 1 als Koeffizienten enthält und bei der zudem alle Spalten orthogonal zueinander sind, ebenso alle Zeilen.
Hadamard-Matrizen sind nach dem französischen Mathematiker Jacques S. Hadamard benannt.
Inhaltsverzeichnis
Eigenschaften
Aus der Orthogonalität der Zeilen und Spalten folgt für eine Hadamard-Matrix H die Beziehung:
Dabei bezeichnet Ht die transponierte Matrix zu H und E die Einheitsmatrix. Diese Gleichung kann auch zur Definition von Hadamard-Matrizen benutzt werden, da unter allen Matrizen, deren Einträge ausschließlich aus den Zahlen 1 und − 1 bestehen, nur Hadamard-Matrizen diese Gleichung erfüllen.
Es lässt sich zeigen, dass nur dann Hadamard-Matrizen existieren können, wenn n = 1, n = 2 oder n = 4k mit gilt.
Enthalten die erste Spalte und die erste Zeile von H nur 1-Einträge, so heißt die Matrix normalisiert.
Konstruktion
Es gibt verschiedene Methoden Hadamard-Matrizen zu konstruieren. Zwei davon werden im Folgenden beschrieben:
Konstruktion nach Sylvester
Diese Konstruktion geht auf den englischen Mathematiker James J. Sylvester zurück. Ist Hn eine Hadamard-Matrix vom Grad n, so lässt sich damit folgendermaßen eine Hadamard-Matrix vom Grad 2n konstruieren:
Die Orthogonalitätseigenschaft lässt sich leicht überprüfen:
Walsh-Matrizen
Damit ergibt sich zum Beispiel die nach dem Mathematiker Joseph Leonard Walsh benannte Folge von Matrizen (Walsh-Matrizen):
Die Walsh-Matrizen sind normalisierte Hadamard-Matrizen vom Grad 2k, wobei jede Zeile eine Walsh-Funktion darstellt.
Konstruktion über das Legendre-Symbol
Man definiert sich bei dieser Konstruktion zunächst die Jacobsthal-Matrix Q = (qij) vom Grad p (wobei p eine Primzahl ist) mit Hilfe des Legendre-Symbols (a / p):
Ist nun p = 4k − 1 mit , so gilt:
- Qt = − Q
und:
wobei J die Matrix bezeichnet, bei der alle Einträge 1 sind. Nun konstruiert man die Hadamard-Matrix vom Grad p + 1:
Auch hier kann man Nachrechnen, dass dies eine Hadamard-Matrix ist (benutze Qt = − Q und ):
So konstruierte Matrizen heißen Hadamard-Matrizen vom Paley-Typ, nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley.
Die Hadamard-Vermutung
Es wird vermutet (konnte aber noch nicht bewiesen werden), dass zu jeder Zahl n = 4k wenigstens eine Hadamard-Matrix existiert. Diese Vermutung geht wahrscheinlich auf Paley zurück. Mit den beiden oben genannten Verfahren kann man Hadamard-Matrizen für alle Zahlen n der Form n = 2k oder n = p + 1 für eine Primzahl p erzeugen. Es gibt weitere Verfahren, allerdings lassen sich damit nicht alle Möglichkeiten abdecken. So wurde bis 2005 noch keine Hadamard-Matrix zu n = 668 gefunden. 1977 war die Frage noch für n = 268 ungeklärt.
Anwendungen
Hadamard-Matrizen finden Anwendung im Bereich der fehlerkorrigierenden Codes, wo sie zum Erzeugen von Hadamard-Codes oder Reed-Muller-Codes benutzt werden. In der Statistik werden sie benutzt, um Varianzen von Variablen zu berechnen.
Literatur
- S. A. Rukova: Hadamard matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
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