Hadamard-Ungleichung

In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Klassische Hadamard-Ungleichung

Sei M eine $(n\times n)$-Matrix über den komplexen Zahlen mit den Zeilenvektoren $m_1,\dots,m_n$. Dann gilt

$|\det M|\,\leq\, \prod_{i=1}^n \|m_i\|_2$

mit der 2-Norm. Denn zerlegt man M = QR (QR-Zerlegung) so ist $|\det M|=|\det Q| \cdot |\det R| = |\det R|$.

Für die obere Dreiecksmatrix R gilt offenbar $|\det R|\le \|r_1\|_2\cdots \|r_n\|_2$ wobei $\|r_i\|_2=\|Qr_i\|_2=\|m_i\|_2$ ist.

Geometrische Anschauung

Ist M eine $(n\times n)$-Matrix mit reellen Einträgen, so ist | det(M) | das Volumen des von ihren Zeilenvektoren m_i aufgespannten n-dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen ist höchstens so groß wie das Volumen $\prod_{i=1}^n \|m_i\|_2$ des n-dimensionalen Quaders mit Kanten der gleichen Längen.

Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung

Sei $(R,|\cdot|)$ ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und M eine $(n\times n)$-Matrix über R mit den Zeilenvektoren $m_1,\dots,m_n$. Dann gilt

$|\det M|\,\leq\, \prod_{i=1}^n \|m_i\|_1$

mit der 1-Pseudonorm.

Bemerkungen

• Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen $\|x\|_2\leq \|x\|_1$ die schärfere Abschätzung.
• Liegt ein Ring $R\subseteq\Bbb C$ mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen $\Z$), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.