Hecke-Operator

In der Mathematik versteht man unter Hecke-Operatoren bestimmte lineare Operatoren auf dem Vektorraum der ganzen Modulformen. Eingeführt wurden diese Operatoren von Erich Hecke. Ihre Bedeutung erhalten sie dadurch, dass bestimmte Modulformen simultane Eigenfunktionen zu allen Hecke-Operatoren sind und sich dadurch Schlüsse auf die Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten dieser Funktionen ziehen lassen.

Definition

Es sei M_k der Vektorraum der ganzen Modulformen zum Gewicht k.

Ein Hecke-Operator ist eine lineare Abbildung $T_n: M_k \rightarrow M_k, n \in \mathbb{N},$

$(T_nf)(\tau) = n^{k-1}\sum_{d|n}d^{-k} \sum_{b=0}^{d-1} f\left(\frac{n\tau+bd}{d^2}\right).$

Für Primzahlen p reduziert sich dies auf

$(T_pf)(\tau) = p^{k-1}f(p\tau)+\frac{1}{p}\sum_{b=0}^{p-1}f\left(\frac{\tau+b}{p}\right).$

Eigenschaften und Anwendungen

Die Hecke-Operatoren bilden M_k in sich ab, d.h. T_nf ist wieder eine ganze Modulform zum Gewicht k, insbesondere bilden sie Spitzenformen, d.h. Modulformen mit einer Nullstelle bei $\tau = \infty$, wieder auf Spitzenformen ab.

Hat $f \in M_k$ eine Fourier-Entwicklung $f(\tau) = \sum\limits_{m=0}^\infty \alpha_f(m)e^{2 \pi i m\tau}$,

so hat T_nf eine Fourier-Entwicklung

$(T_nf)(\tau) = \sum\limits_{m=0}^\infty \gamma_n(m)e^{2 \pi i m\tau}$ mit

$\gamma_n(m) = \sum\limits_{d|(n,m)} d^{k-1}\alpha_f\left(\frac{mn}{d^2}\right).$

Man nennt die Funktion f eine simultane Eigenform, wenn f Eigenform zu allen Hecke-Operatoren ist, in diesem Fall sind die Eigenwerte

$\lambda_f(n) = \left.\frac{\alpha_f(n)}{\alpha_f(1)}\right.$.

Der Vektorraum der Spitzenformen besitzt sogar eine Basis aus simultanen Eigenfunktionen zum Operator T_n, damit ergibt sich beispielsweise für die Diskriminante Δ, die bis auf einen konstanten Faktor einzige Spitzenform vom Gewicht 12:

$T_n\Delta = \tau(n)\cdot \Delta$ für alle $n \in \mathbb{N}$

und für ihre Fourier-Koeffizienten τ(n), die Ramanujansche Tau-Funktion, gilt:

$\tau(m)\tau(n) = \sum\limits_{d|(m,n)}d^{11}\tau\left(\frac{mn}{d^2}\right).$

Speziell für teilerfremde m,n ist also τ(m)τ(n) = τ(mn), d.h. die zahlentheoretische Funktion τ(n) ist multiplikativ.

Die einzigen Nicht-Spitzenformen, die simultane Eigenformen zu allen Hecke-Operatoren sind, sind die normalisierten Eisensteinreihen

$f(\tau) = \left.\frac{(2k-1)!}{2(2\pi i)^{2k}}G_{2k}(\tau)\right..$

Für die Fourier-Koeffizienten der Eisensteinreihen ergibt sich:

$\sigma_{2k-1}(n)\sigma_{2k-1}(m) = \sum\limits_{d|(m,n)}d^{2k-1}\sigma_{2k-1}\left(\frac{mn}{d^2}\right)$

und für teilerfremde m,n reduziert sich dies wieder auf σ_{2k − 1}(n)σ_{2k − 1}(m) = σ_{2k − 1}(mn), d.h. auch die zahlentheoretische Funktion σ_{2k − 1} ist multiplikativ.

Literatur

• T.M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990, ISBN 3-540-97127-0
• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3