Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\,z>0\}$ holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition

Für $z \in \mathbb{H}$ sei $\Delta(z):= g_2^3(z)-27g_3^2(z)$,

dabei sind g₂(z) = 60G₄(z) und g₃(z) = 140G₆(z) die Eisensteinreihen zum Gitter $\Z z+\Z$.

Produktentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

$\Delta(z)= (2\pi )^{12}e^{2\pi iz}\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2\pi inz})^{24}$

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass Δ in $\mathbb{H}$ keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante Δ ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist Δ(z) = (2π)¹²η²⁴(z).

Transformationsverhalten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d.h. unter den Substitutionen von

$\Gamma :=SL_2(\Z)=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\Z, ad-bc=1\}$ gilt:

$\Delta\left(\frac{az +b}{cz +d}\right)= (cz +d)^{12}\Delta(z)$.

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei $z=\infty$ und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

$\Delta(z)=(2\pi )^{12}\sum_{n=1}^{\infty} \tau(n)\,{\mathrm e}^{2\pi inz}$.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion

bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d.h.

$\tau(m)\cdot\tau(n) = \tau(m\cdot n)$ für teilerfremde $m,n \in \N$,

wie im Jahre 1920 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

$\tau(m) \tau(n) = \sum_{d\,|(m,n)} \!\! d^{11}\tau\left(\frac{mn}{d^2}\right)$.

Für die ersten Werte der tau-Funktion gilt:

τ(1) = 1

τ(2) = − 24

τ(3) = 252.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von D. H. Lehmer aufgestellte Vermutung

$\tau(m) \neq 0$ für alle $m \in \N$ richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen p gilt:

$|\tau(p)| \le 2p^{11/2}$.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die τ(n) erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

$\tau(n)\equiv \sigma_{11}(n)\mod 691$

mit

$\sigma_{11}(n)=\sum_{d\,\mid n}d^{11}$

Literatur

• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2