Eisensteinreihe

Eisensteinreihe

Eisensteinreihen (nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein) sind verschiedene Reihen aus der Theorie der Modulformen bzw. automorphen Formen.

Inhaltsverzeichnis

Holomorphe Eisensteinreihen

Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter

Die Eisensteinreihe vom Gewicht k zum Gitter Ω in \mathbb{C} ist die unendliche Reihe der Form

G_k(\Omega):=\sum_{0\not=\omega\in\Omega} \omega^{-k}.

Solche Reihen sind absolut konvergent für k\ge3, für k ungerade ist Gk(Ω) = 0.

Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene

G_4
G_6
G_8
G_10
G_12
G_14

Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter in der oberen Halbebene beschränken, denn für ein solches Gitter \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau mit \tau\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}z>0\} und eine Basis 12) von Ω gilt stets:

G_k(\Omega)=G_k(\omega_1,\omega_2)=\omega_2^{-k}G_k\left(\frac{\omega_1}{\omega_2},1\right),

und da die Basis so gewählt werden kann, dass \frac{\omega_1}{\omega_2}\in\mathbb{H} gilt, ergibt sich damit

G_k(\tau):=G_k(\tau,1)=\sum_{(0,0)\not=(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^k}.

Die Eisensteinreihe Gk ist eine Modulform vom Gewicht k zur Gruppe \text{Sl}_2(\mathbb{Z}), das heißt für a,b,c,d\in\mathbb Z mit adbc = 1 gilt

G_k\!\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=(c\tau+d)^kG_k(\tau).

Für k\ge8 sind die Gk Polynome mit rationalen Koeffizienten in G4 und G6, d.h. G_k\in\mathbb{Q}[G_4,G_6], es gilt die Rekursionsformel:

(n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum_{p=2}^{n-2} (2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}G_{2n-2p}

Speziell für n=4 ergibt sich hieraus 7G_8=3G_4^2 und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (siehe unten) die bemerkenswerte zahlentheoretische (Hurwitz-Identität, nach Adolf Hurwitz):

\sigma_7(m)=\sigma_3(m)+120\sum_{r,s\in\mathbb{N},r+s=m} \sigma_3(r)\sigma_3(s),

dabei ist

\, \sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k

die Summe der k-ten Potenzen der Teiler von n. Diese Formel lässt sich aber auch elementar (das heißt nicht funktionentheoretisch) beweisen.

Fourierentwicklung

Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:

G_k(\tau)=2\zeta(k)+2\frac{(2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{m=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(m)e^{2\pi im\tau},

dabei ist \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} die Riemannsche Zetafunktion.

Bezug zu elliptischen Funktionen

Es sei g2 = 60G4 und g3 = 140G6. Dann erfüllt die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter Ω die Differentialgleichung

(\wp'(z))^2=4\wp(z)^3-g_2(\Omega)\wp(z)-g_3(\Omega).

Literatur


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