Hessenbergmatrix

Eine (obere) Hessenbergmatrix (nach Karl Hessenberg) ist eine quadratische Matrix $H\in\mathbb{C}^{n\times n}$, deren Einträge unterhalb der ersten Nebendiagonalen gleich Null sind, also h_ij = 0 für alle i > j + 1.

$H = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & h_{2n}\\ 0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & h_{nn-1} & h_{nn} \end{pmatrix}$

Analog definiert man eine untere Hessenbergmatrix als eine quadratische Matrix, deren Transponierte eine obere Hessenbergmatrix ist. Ist nur von einer Hessenbergmatrix die Rede, ist meist eine obere Hessenbergmatrix gemeint.

Eine untere und obere Hessenbergmatrix nennt man Tridiagonalmatrix.

Hessenbergmatrizen treten in natürlicher Weise in Krylow-Unterraum-Verfahren und als Vorstufe bei der Berechnung von Eigenwerten mittels des QR-Algorithmus auf. Die numerische Transformation einer beliebigen Matrix auf Hessenbergform wird beim QR-Algorithmus beschrieben. Die Struktur der Matrizen spiegelt sich in der Inversen, der Adjunkten und in den Eigenvektoren wider.