Adjunkte

Die Adjunkte, klassische Adjungierte (nicht zu verwechseln mit der echten adjungierten Matrix) oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Transponierte der Kofaktormatrix, also die transponierte jener Matrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Minoren sind.

$\operatorname{adj}(A) = \operatorname{Cof}(A)^T = \tilde A^T = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \tilde a_{12} & \cdots & \tilde a_{1n}\\ \tilde a_{21} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ \tilde a_{n1} & \tilde a_{n2} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \tilde a_{21} & \cdots & \tilde a_{n1}\\ \tilde a_{12} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{n2}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ \tilde a_{1n} & \tilde a_{2n} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}$

Es ist hierbei zu beachten, dass an der Stelle (j,i) der Cofaktor $\tilde a_{ij}$ steht. Die Cofaktoren $\tilde a_{ij}$ berechnen sich zu

$\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot M_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n}\end{vmatrix}$.

Die Minoren M_ij sind also die Werte der Unterdeterminanten der Matrix A, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation nicht immer eindeutig ist, ist Vorsicht geboten. Oft wird dieselbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte, bei allgemeineren Räumen mit Hilfe des zu Grunde liegenden Skalarproduktes oder Sesquilinearproduktes) verwendet.

Beispiel

2 × 2 Matrix

Eine beliebige $2 \times 2$-Matrix hat die Form

$A = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

$\operatorname{adj} (A) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-c}}\\ {{-b}} & {{a}} \end{pmatrix} ^T = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}$

3 × 3 Matrix

Eine beliebige $3 \times 3$-Matrix hat die Form

$A = \begin{pmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}$

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

$\begin{align} \operatorname{adj} (A) & = \begin{pmatrix} \quad\det\begin{pmatrix}e & f\\ h & i\end{pmatrix} & - \det\begin{pmatrix}d & f\\ g & i\end{pmatrix} & \quad\det\begin{pmatrix}d & e\\ g & h\end{pmatrix} \\ - \det\begin{pmatrix}b & c\\ h & i\end{pmatrix} & \quad\det\begin{pmatrix}a & c\\ g & i\end{pmatrix} & - \det\begin{pmatrix}a & b\\ g & h\end{pmatrix} \\ \quad\det\begin{pmatrix}b & c\\ e & f\end{pmatrix} & - \det\begin{pmatrix}a & c\\ d & f\end{pmatrix} & \quad\det\begin{pmatrix}a & b\\ d & e\end{pmatrix} \end{pmatrix}^T\\[.7em] & = \begin{pmatrix} ei - fh & fg - di & dh - eg \\ ch - bi & ai - cg & bg - ah \\ bf - ce & cd - af & ae - bd \end{pmatrix}^T\\[.7em] & = \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix} \end{align}$

Eigenschaften

Nachfolgende Beziehungen gelten für alle Matrizen aus $K^{n\times n}$

$\operatorname{adj}(E) = E$, wobei E eine Einheitsmatrix ist.

$\operatorname{adj}(0) = 0$, wobei 0 eine Nullmatrix ist.

$\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B) \cdot \operatorname{adj}(A)$

$\operatorname{adj}(A^T) = \operatorname{adj}(A)^T$

$A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot E$

$\operatorname{adj}(\lambda A)=\lambda^{n-1}\operatorname{adj}(A)$ wobei $\lambda\in K$

$\det(\operatorname{adj}(A))=(\det A)^{n-1}$

$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=(\det A)^{n-2}A$, insbesondere für $2\times2$-Matrizen gilt $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=A$

Für invertierbare Matrizen gilt zusätzlich

$(\operatorname{adj}(A))^{-1}=\operatorname{adj}(A^{-1})$

Berechnung der Inversen einer Matrix

Hauptartikel: Reguläre Matrix

Die einzelnen Spalten der Inversen einer Matrix A werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems Ax = e_j mit dem j-ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der cramerschen Regel, so erhält man die Formel

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj} (A)$

Eine beliebige $2 \times 2$-Matrix lässt sich somit auf sehr einfache Weise invertieren:

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj} (A) = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}$

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2008, ISBN: 978-3-540-76437-3