Hilberts Basissatz

Hilberts Basissatz

Der Hilbertsche Basissatz (nach David Hilbert) ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Geometrie, er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Der Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form: Ist A ein noetherscher Ring und B eine A-Algebra endlichen Typs, so ist auch B noethersch.

Speziellere Varianten sind:

  • Ist A noethersch, so ist jeder Polynomring A[X_1,\ldots,X_n] mit Koeffizienten in A noethersch.
  • Der Polynomring k[X1,...,Xn] über einem Körper k ist noethersch. Dies ist (bis auf den Sprachgebrauch) die Fassung, die Hilbert 1888 bewiesen hat.

Eine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage: Ist eine Teilmenge eines kn für einen Körper k durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben, so genügen bereits endlich viele von ihnen. Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage, dass die Zariski-Topologie eine Topologie ist. Siehe auch: algebraische Varietät

Siehe auch


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