Homologiesphäre

Eine Homologiesphäre bezeichnet in der Mathematik eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M, deren Homologiemodul isomorph zu dem der gewöhnlichen n-Sphäre ist oder expliziter ausgedrückt eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M, für deren singulären Homolgiegruppen

$H_0(M,\Z) \cong H_n(M,\Z) \cong \Z$

und

$H_j(M,\Z) = \{0\}$ für alle anderen j

gelten.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass M eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Im Allgemeinen ist M jedoch nicht einfach zusammenhängend: Teilt man die Fundamentalgruppe π₁(M) durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe $H_1(M,\Z)$ ist. Das bedeutet aus $H_1(M,\Z) = \{0\}$ kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass π₁(M) trivial sein muss.

Meistens werden Homologiesphären in der 3-dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die 3-dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich π₁(M) = {0} gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.