Hyper-Cube

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Unter einem Hyperwürfel versteht man einen regulären Würfel mit 4 oder mehr Dimensionen. Der 4-dimensionale Hyperwürfel wird auch als Tesserakt bezeichnet.

Projektion eines Hyperwürfels in die 3. Dimension

Konstruktion regulärer Würfel

Reguläre Würfel der Kantenlänge a lassen sich wie folgt erzeugen:

• Wenn ein Punkt um die Distanz a geradlinig verschoben wird, entsteht eine Strecke, eine 1-dimensionale Strecke, erste Voraussetzung eines Würfels.
• Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein Quadrat bzw. eine Fläche
• Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz a verschoben wird, entsteht ein 3-dimensionaler Würfel.
• Allgemein: Wenn ein n-dimensionaler Würfel senkrecht zu seinen n Dimensionen um die Distanz a (≠0) verschoben wird, entsteht ein (n+1)-dimensionaler Würfel.

Grenzelemente

Der 3-dimensionale Würfel wird von Punkten, Kanten und Flächen begrenzt.
Allgemein: Der n-dimensionale Würfel wird von 0-dimensionalen, 1-dimensionalen, 2-dimensionalen, ..., (n-2)-dimensionalen, (n-1)-dimensionalen Elementen begrenzt.

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente lässt sich aus folgenden Überlegungen ableiten.

• Wenn ein (n+1)-dimensionaler Würfel aus einem n-dimensionalen Würfel erzeugt wird, werden durch dessen Verschiebung alle k-dimensionalen Elemente ( k <= n ) verdoppelt.
• Gleichzeitig wird jedes (k-1)-dimensionale Grenzelement zu einem k-dimensionalen erweitert.

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen n-dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem k-dimensionalen Grenzelement k Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von k Koordinatenachsen nicht nur ein k-dimensionales Grenzelement, sondern 2^n-k, weil man durch jede der n-k zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt dieselben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, k Achsen aus den n Achsen auszuwählend (Binomialkoeffizient ${n \choose k}$), mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit

${n \choose k} \cdot 2^{n-k}$

Beispiel: Der 3-dimensionale Würfel wird durch Verschiebung eines Quadrats erzeugt.

• Die 4 Kanten des Quadrats werden dadurch verdoppelt.
• Die 4 Eckpunkte des Quadrats werden zu Kanten erweitert.

Der 3-dimensionale Würfel besitzt damit 2 * 4 + 4 = 12 Kanten.

Der Weg zum Hyperwürfel

	Anzahl der Grenzelemente
	0-dim.	1-dim.	2-dim.	3-dim.	4-dim.	5-dim.	$\ldots$	(n-1)-dim.
Strecke	2
Quadrat	4	4
3-dim. Würfel	8	12	6
4-dim. Würfel	16	32	24	8
5-dim. Würfel	32	80	80	40	10
6-dim. Würfel	64	192	240	160	60	12
$\vdots$
n-dim. Würfel	2n	n2n − 1	n(n − 1)2n − 3	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	2n

Alle 0- bis 5-dimensionalen Würfel in der Parallelprojektion:

Eigenschaften

Dimension	Kanten	Knoten	Seiten	Grad	Durchmesser	Kanten Zusammenhang	Knoten Zusammenhang
n	$2^{(n-1)}\cdot n$	2n	2n	n	n	n	n

Hyperwürfel in der Bildenden Kunst

In der Bildenden Kunst beschäftigen sich folgende Künstler mit dem Hyperwürfel:

• Tony Robbin – durch Spiegelungen und Verdrehungen von Würfel- Kanten erzeugt Tony Robbin in Zeichnungen und mit Raum-Installationen Situationen, die nur in einer hyperdimensionalen Welt möglich wären.
• Manfred Mohr – veranschaulicht in seinen Kompositionen Interaktionen von Linien, die einer räumlichen Logik von mehr als drei Freiheitsgraden folgen.
• Frank Richter – konkretisiert in Grafiken, Plastiken und Rauminstallationen nach der Vorgabe von mathematischen Regeln Raum-Konstellationen, die über die dritte Dimension hinausgehen.
• Salvador Dali hat in seinem Bild Kreuzigung (Corpus Hypercubus) 1954 einen gekreuzigten Jesus auf das Netz eines Hyperwürfels gemalt^[1].

Hyperwürfel in der Popkultur

• Der Film Cube 2: Hypercube handelt von einem Hyperwürfel, in dem sich die Charaktere in den 3 räumlichen Dimensionen und einer zeitlichen Dimension bewegen und sich beispielsweise selbst in einem anderen Zeitabschnitt begegnen.
• Die Kurzgeschichte And He Built a Crooked House, in der deutschen Version Das 4D-Haus, von Robert A. Heinlein behandelt ein Haus, das aus einem Hyperwürfel besteht.

Siehe auch

• Euklidischer Raum
• Hyperebene

Weblinks

• Zur Elementargeometrie höherdimensionaler Würfel – Praxis der Mathematik von Marcus Gossler, von 1986
• Der n-dimensionale Hyperwürfel (PDF, ca. 900 kB) – 22. Basler Kolloquium für Mathematiklehrkräfte von Hans Walser, vom 19. November 2003
• Hyperwürfel und Hyperkugeln
• Erweiterte Grenzelemente-Tabelle
• Animierter Hyperwürfel(Java)
• http://www.4d-screen.de/related-space - vier-, fünf-, sechs- und siebendimensionale Würfel (Java)
• Bebilderte Konstruktion eines 4D-Hyperwürfels

Einzelnachweise

1. ↑ Beispiel eines Daligemäldes