Hyperstreamline

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Mit Hyperstromlinien (englisch singular Hyperstreamline) kann man symmetrische, reelle (nichtnegative) Tensorfelder zweiter Stufe bildlich darstellen, analog zu Stromlinien eines Vektorfeldes. Sie wurden 1993 von Lambertus Hesselink and Thierry Delmarcelle beschrieben.

Idee

Ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe wird in einer Basis durch eine quadratische, symmetrische Matrix angegeben. Dabei steckt die eigentliche Information nicht in den Einträgen der Matrix, sondern ihren Eigenvektoren und Eigenwerten. Da die Eigenvektoren symmetrischer Matrizen aufeinander senkrecht stehen, kann man den Tensor durch drei aufeinander senkrecht stehende Vektoren angeben und die Eigenwerte, wenn sie nicht negativ sind, durch die Länge der Vektoren.

Hyperstromlinien stellen ein symmetrisches, nicht-negatives Tensorfeld wie durch Schläuche dar. Dabei ist die Tangente an die Mittellinie der erste Eigenvektor des Tensorfeldes. Der Querschnitt der Hyperstromlinie ist elliptisch, wobei die Halbachsen der Ellipse die beiden anderen Eigenvektoren anzeigen und ihre die Längen die beiden anderen Eigenwerte. Solch eine Darstellung des Tensorfeldes durch Hyperstromlinien ist sinnvoll, wenn einer der Eigenvektoren mit einem Teilchenstrom zusammenhängt.

Beispiel einer Eigenwertgleichung mit einer symmetrischen Matrix (sie geht durch Spiegeln an der Diagonalen in sich über),

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\,,$

$\lambda = 1: \,\mathbf e_1 = \frac 1 {\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \,,\ \lambda = 2: \,\mathbf e_2 = \frac 1 {\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\ \lambda = 4: \,\mathbf e_3 = \frac 1 {\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \,.$

Weblinks

• G. Reina, K. Bidman, F. Enders, P. Hastreiter and T. Ert, GPU-Based Hyperstreamlines for Diffusion Tensor Imaging
• Burkhard Wünsche, Hyperstreamlines, IEEE Computer Graphics and Applications, 13 (1993) 25-33