IP-Menge

In der Mathematik bezeichnet der Begriff IP-Menge eine Menge natürlicher Zahlen, die alle endlichen Summen einer unendlichen Menge enthält.

Die endlichen Summen einer Menge D von natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Summe der Elemente einer nichtleeren endlichen Teilmenge von D darstellen lassen. Die Menge aller endlichen Summen von D wird auch als FS(D) bezeichnet; dabei steht FS für Finite Sums.

Eine Menge A von natürlichen Zahlen ist eine IP-Menge, falls eine unendliche Menge D existiert, so dass FS(D) in A enthalten ist.

Manchmal wird auch eine leicht abweichende Definition verwendet: man verlangt dann, dass sogar A=FS(D) für ein passendes D ist..

Die Bezeichnung IP-Menge (IP-set) geht auf Hillel Fürstenberg und Barak Weiss zurück; IP steht dabei für "Infinite-dimensional Parallelepiped".

Der Satz von Hindman

Der Satz von Hindman, oder auch das Finite Sums Theorem, lautet wie folgt:

Ist $S\,$ eine IP-Menge und $S = C_1 \cup C_2 \cup ... \cup C_n$, so ist wenigstens eine der Mengen $C_i\,$ eine IP-Menge.

Da die Menge der natürlichen Zahlen selbst auch eine IP-Menge ist und man Partitionen auch als Färbungen auffassen kann, lässt sich folgender Spezialfall des Satzes von Hindman formulieren:

Sind die natürlichen Zahlen mit n Farben gefärbt, so gibt es für mindestens eine Farbe c eine unendliche Menge D, so dass alle Elemente von D und sogar alle endlichen Summen von D die Farbe c haben.

Halbgruppen

Die IP-Eigenschaft kann man nicht nur für die natürlichen Zahlen, die mit der Addition eine Halbgruppe bilden, definieren, sondern auch ganz allgemein für Halbgruppen und partielle Halbgruppen.

Quellen

• V. Bergelson, I. J. H. Knutson, R. McCutcheon: Simultaneous diophantine approximation and VIP Systems Acta Arith. 116, Academia Scientiarum Polona, (2005), 13-23
• V. Bergelson: Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
• H. Fürstenberg, B. Weiss: Topological Dynamics and Combinatorial Number Theory, J. d'Analyse Math. 34 (1978), 61-85
• J. McLeod: Some Notions of Size in Partial Semigroups Topology Proceedings, Vol. 25 (2000), 317-332