Index (Gruppentheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition

Es sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann sind die Menge G / U der Linksnebenklassen und die Menge $U\backslash G$ der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von U in G und wird mit (G:U) bezeichnet.

Eigenschaften

• Es gilt (G:1) = | G | . (Dabei bezeichnet | G | die Ordnung von G.)

• Der Index ist multiplikativ, d.h. ist U eine Untergruppe von G und V eine Untergruppe von U, so gilt

$(G\colon V)=(G\colon U)\cdot(U\colon V).$

• Der Spezialfall V = 1 wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:

Für eine Gruppe G und eine Untergruppe U gilt:

$|G| = (G\colon U)\cdot|U|.$

Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als

$(G\colon U) = \frac{|G|}{|U|}$

berechnen.

• Untergruppen vom Index 2 sind stets Normalteiler.

Topologische Gruppen

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

• Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
• Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch

• Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.^[1]
• In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.^[2]

Literatur

Index in der Gruppentheorie:

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-90518-9.

In topologischen Gruppen:

• Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teubner, Leipzig 1957 (Originaltitel: Nepreryvnye gruppy, übersetzt von Viktor Ziegler).

Einzelnachweise

1. ↑ Hungerford (1989), S. 89
2. ↑ Hungerford (1989), S. 247