Einbettung (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.

Häufig ist damit lediglich eine injektive Abbildung oder ein Monomorphismus gemeint. Beispielsweise spricht man von der kanonischen Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen.

Darüber hinaus gibt es in einigen Gebieten speziellere Einbettungsbegriffe.

Topologie

In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen X und Y als Einbettung von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).

Es sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• die Abbildung $f\colon X \rightarrow Y$ ist eine Einbettung.
• f ist injektiv, stetig und als Abbildung nach f(X) offen, d.h. für jede offene Menge O von X ist das Bild f(O) wieder offen in f(X).
• f ist injektiv und stetig, und für alle topologischen Räume T und alle stetigen Abbildungen $t\colon T\rightarrow Y$, welche über X faktorisieren (d.h. es gibt eine Abbildung $t_0\colon T\rightarrow X$ mit $t=f\circ t_0$ ), ist die induzierte Abbildung $t_0\$ stetig. (Universelle Eigenschaft)

Im Allgemeinen ist eine Einbettung $f\colon X \rightarrow Y$ nicht offen, d.h. für $U \subset X$ offen muss f(U) nicht offen in Y sein, wie das Beispiel der üblichen Einbettung $f:\R\to \C$ zeigt. Eine Einbettung f ist genau dann offen, wenn das Bild f(X) in Y offen ist.

Differentialgeometrie

Unter einer glatten Einbettung versteht man eine topologische Einbettung, die zudem noch eine Immersion ist.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).

Weblinks

 Wiktionary: Einbettung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• http://www.math.tu-berlin.de/~ziegler/TOP/notes1.pdf (PDF-Datei; 88 kB)