- Einbettung (Mathematik)
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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.
Häufig ist damit lediglich eine injektive Abbildung oder ein Monomorphismus gemeint. Beispielsweise spricht man von der kanonischen Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen.
Darüber hinaus gibt es in einigen Gebieten speziellere Einbettungsbegriffe.
Inhaltsverzeichnis
Topologie
In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen X und Y als Einbettung von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).
Es sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- die Abbildung
ist eine Einbettung.
- f ist injektiv, stetig und als Abbildung nach f(X) offen, d.h. für jede offene Menge O von X ist das Bild f(O) wieder offen in f(X).
- f ist injektiv und stetig, und für alle topologischen Räume T und alle stetigen Abbildungen
, welche über X faktorisieren (d.h. es gibt eine Abbildung
mit
), ist die induzierte Abbildung
stetig. (Universelle Eigenschaft)
Im Allgemeinen ist eine Einbettung
nicht offen, d.h. für
offen muss f(U) nicht offen in Y sein, wie das Beispiel der üblichen Einbettung
zeigt. Eine Einbettung f ist genau dann offen, wenn das Bild f(X) in Y offen ist.
Differentialgeometrie
Unter einer glatten Einbettung versteht man eine topologische Einbettung, die zudem noch eine Immersion ist.
Literatur
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
Weblinks
- http://www.math.tu-berlin.de/~ziegler/TOP/notes1.pdf (PDF-Datei; 88 kB)
- die Abbildung
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