Integrabilitätsbedingung

Mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung kann überprüft werden, ob ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist.

Ein Vektorfeld, d. h. eine Abbildung

$f:X\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$

wird Gradientenfeld genannt, wenn ein Skalarfeld (ein Potential)

$\varphi:X\to \mathbb{R}$

existiert, sodass sich f darstellen lässt durch

$f(x)=\mbox{grad} \varphi(x)$

für alle $x\in X.$

Mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung kann nun für stetig differenzierbare Vektorfelder entschieden werden, ob so ein Skalarfeld existiert, d. h. ob f ein Gradientenfeld ist. Es gilt:

Das Vektorfeld $f:=(f_1,f_2,\dots,f_n)^T$ sei auf der offenen und sternförmigen Menge $X\subset\mathbb{R}^n$ stetig differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen ist f genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung

$\frac{\partial f_j}{\partial x_k}=\frac{\partial f_k}{\partial x_j}$

für $j,k=1,2,\dots, n$ auf X erfüllt ist.

Äquivalente Aussagen

Die folgenden Aussagen sind äquivalent und können ebenfalls zur Entscheidung, ob ein Vektorfeld f ein Gradientenfeld ist oder nicht, herangezogen werden:

• f ist ein Gradientenfeld, d.h. es existiert ein Skalarfeld $\varphi$, sodass für alle $x\in X$ gilt:

$f(x)=\mbox{grad} \varphi(x)$

• Integrale über das stetige Vektorfeld f in X sind wegunabhängig, d. h. sie hängen nur von Anfangs- und Endposition ab und Integrale über geschlossene Kurven verschwinden.
• Die Rotation über f verschwindet für alle $x\in X$:

$\mbox{rot}\, f(x)=0$