Totales Differential

Totales Differential

Das totale Differential (auch vollständiges Differential) ist ein Begriff aus der Differentialrechnung und bezeichnet das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen differenzierbaren Funktion f\colon M\to \mathbb R bezeichnet man mit df das totale Differential, zum Beispiel:

{\rm d}f=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, {\rm d}x_i\,\,.

Hierbei ist M eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums \R^n oder allgemeiner eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zur Unterscheidung von totalen und partiellen Differentialen werden hier unterschiedliche Symbole benutzt: ein „nicht-kursives d“ beim totalen Differential und ein „kursives d“ (∂) für die partiellen Ableitungen.

Traditionell, und noch heute oft in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften, versteht man unter einem Differential wie \mathrm dx, \mathrm df, \dots infinitesimale, also unendlich kleine Differenzen. In der heutigen Mathematik versteht man darunter Differentialformen (genauer: 1-Formen). Diese kann man entweder als rein formale Ausdrücke auffassen, oder als lineare Abbildungen. Das Differential df(x) einer Funktion f im Punkt x ist dann die lineare Abbildung (Linearform), die jedem Vektor v die Richtungsableitung von f am Punkt x in Richtung von v zuordnet. Mit dieser Bedeutung wird das (totale) Differential auch totale Ableitung genannt. Mit dieser Bedeutung lässt sich der Begriff auch auf Abbildungen mit Werten im \R^n, in einem andern Vektorraum oder in einer Mannigfaltigkeit verallgemeinern.

Inhaltsverzeichnis

Einfacher Fall

Totales Differential im einfachen Fall

Für eine Funktion (x,y) \mapsto f(x,y) von zwei unabhängigen Variablen versteht man unter dem totalen Differential den Ausdruck [1]

{\rm d} f = \frac{\partial f}{\partial x} \, \operatorname{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \,\operatorname{d} y \,.

Totales Differential heißt der Ausdruck, weil er die gesamte Information über die Ableitung enthält, während die partiellen Ableitungen nur Information über die Ableitung in Richtung der Koordinatenachsen enthalten. Die Summanden \tfrac{\partial f}{\partial x} \, \operatorname{d} x und \tfrac{\partial f}{\partial y} \,\operatorname{d} y werden gelegentlich auch partielle Differentiale genannt[2]

Anwendung (Verkettung)

Hängen x und y von einer Größe t ab (zum Beispiel wenn sie die Bahn eines Punktes in der Ebene in Abhängigkeit von der Zeit t beschreiben), sind also Funktionen g\colon t \mapsto x und h\colon t \mapsto y gegeben, so kann die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

t \mapsto f(x,y) = f(g(t),h(t))

wie folgt berechnet werden:

Die Ableitungen von g und h lassen sich als \mathrm dx = g' \,\mathrm dt und \mathrm dy = h' \,\mathrm dt schreiben. Man setzt dies in den obigen Ausdruck ein und erhält damit

\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x} \, g' \operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial y} \,h' \operatorname dt = \left(\frac{\partial f}{\partial x} \, g' + \frac{\partial f}{\partial y} \,h'  \right)\,\operatorname{d} t,

bzw. in der in der Physik üblichen Schreibweise

\mathrm df = \left(\frac{\partial f}{\partial x} \, \dot x + \frac{\partial f}{\partial y} \,\dot y  \right)\,\operatorname{d} t = \left(\frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}  \right)\,\operatorname{d} t,

also


\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(g(t),h(t)) = 
\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \, g' + \frac{\partial f}{\partial y} \,h' = \frac{\partial f}{\partial x} \, \dot x + \frac{\partial f}{\partial y} \,\dot y = \frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}.

Formal wird also einfach das totale Differential durch dt dividiert. Mathematisch ist dies eine Anwendung der Kettenregel (siehe unten).

Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik

In der Mechanik werden typischerweise Situationen behandelt, in denen die Funktion f nicht nur von den Ortskoordinaten x und y abhängt, sondern auch von der Zeit. Wie oben wird der Fall betrachtet, dass x = g(t) und y = h(t) die Ortskoordinaten eines sich bewegenden Punktes sind. In dieser Situation hängt die zusammengesetzte Funktion

t \mapsto f(t,g(t),h(t))

in doppelter Weise von der Zeit t ab:

  1. Dadurch, dass f selbst in der ersten Variablen von t abhängt. Diese Zeitabhängigkeit nennt man explizit.
  2. Dadurch, dass die Ortskoordinaten x = g(t) und y = h(t) von t abhängen. Diese Zeitabhängigkeit nennt man implizit.

Man spricht nun von der partiellen Ableitung von f nach der Zeit, wenn man die partielle Ableitung der ersten Funktion meint, also

\frac{\partial f}{\partial t}(t,x,y)

bei festen x und y. Hier wird also nur die explizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt.

Hingegen spricht man von der totalen Ableitung von f nach der Zeit, wenn man die Ableitung der zusammengesetzten Funktion meint, also

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)).

Die beiden hängen wie folgt zusammen:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, g' + \frac{\partial f}{\partial y} \,h'  
= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}

Hier werden also die explizite und die implizite Zeitabhängigkeit berücksichtigt.

Ein Beispiel hierfür aus der Fluidmechanik: Mit T(t,x1,x2,x3) werde die Temperatur zur Zeit t am Ort x = (x1,x2,x3) bezeichnet. Die partielle Ableitung \tfrac{\partial T}{\partial t} beschreibt dann die zeitliche Temperaturänderung an einem festen Ort (x1,x2,x3). Die Temperaturänderung, die ein sich mit der Strömung bewegendes Teilchen erfährt, hängt aber auch von der Ortsänderung ab. Die totale Ableitung der Temperatur lässt sich dann wie oben mit Hilfe des totalen Differentials beschreiben:

{\rm d} T = \frac{\partial T}{\partial t} \, \operatorname{d} t + \frac{\partial T}{\partial x_1} \,\operatorname{d} x_1 + \frac{\partial T}{\partial x_2} \,\operatorname{d} x_2 + \frac{\partial T}{\partial x_3} \,\operatorname{d} x_3

bzw.

\frac{{\rm d} T}{\mathrm dt} = \frac{\partial T}{\partial t}  + \frac{\partial T}{\partial x_1} \,\frac{\operatorname{d} x_1}{\mathrm dt} + \frac{\partial T}{\partial x_2} \,\frac{\operatorname{d} x_2}{\mathrm dt} + \frac{\partial T}{\partial x_3} \,\frac{\operatorname{d} x_3}{\mathrm dt}

Das totale Differential als lineare Abbildung

Reeller Vektorraum

Für den Fall, dass M eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums \R^n ist und f eine differenzierbare Funktion von M nach \R, ist zu jedem Punkt p\in M das totale Differential {\rm d}f(p)\colon \R^n\to\R eine lineare Abbildung, die jedem Vektor v = (v^1,\dots,v^n) \in\R^n die Richtungsableitung in Richtung dieses Vektors zuordnet, also:


{\rm d}f({p})\colon \mathbb{R}^{n}  \to\mathbb{R}\, , \ {v}  \mapsto \partial_{v}f({p})=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f({p}+t{v})\right|_{t=0}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}({p})\, v^{i}

Da das totale Differential df(p) eine lineare Abbildung nach \R ist, also eine Linearform, lässt es sich in folgender Form schreiben

{\rm d}f(p)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\,{\rm d}x^i,

wobei {\rm d}x^i\colon \R^n\to\R die Linearform ist, die einem Vektor v = (v^1,\dots,v^n) seine i-te Komponente vi zuordnet, d. h. \mathrm{d}x^{i}(v)=\mathrm{d}x^{i}(v^1,\dots,v^n)=v^{i} (duale Basis).

Unter Zuhilfenahme des Gradienten lässt sich das totale Differential auch wie folgt schreiben:

[{\rm d}f(p)](v) = \nabla f(p) \cdot v = \operatorname{grad}(f) \cdot  v,

wobei auf der rechten Seite das Skalarprodukt steht.

Mannigfaltigkeit

Für den allgemeinen Fall ist zu jedem Punkt p\in M das totale Differential {\rm d}f(p)\colon T_pM\to\R eine lineare Abbildung, die jeder Tangentialrichtung v\in T_pM die Richtungsableitung in diese Richtung zuordnet. Ist v = \dot\gamma(0) der Tangentialvektor einer Kurve γ in M mit γ(0) = p, so ist

[{\rm d}f(p)](v) = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \left(f\circ \gamma(t)\right)\Big|_{t=0}\ .

Das totale Differential df(p) ist somit ein Element des Kotangentialraums T^*_pM von M am Punkt p.

Für eine Darstellung von df in Koordinaten betrachte man eine Karte y\colon U \to \R^n einer Umgebung U des Punkts p mit y(p) = 0. Mit e_1, \dots, e_n werde die Standardbasis des \R^n bezeichnet. Die n verschiedenen Kurven \gamma_i(t):=y^{-1}(t\cdot e_i) repräsentieren eine Basis \dot\gamma_i(0),\dots,\dot\gamma_n(0) des Tangentialraums TpM und mittels

\frac{\partial f}{\partial y^i}(p)=
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\left(f\circ \gamma_i(t)\right)\Big|_{t=0} = \frac{\partial }{\partial x_i} (f \circ y^{-1})(0)

erhält man die partiellen Ableitungen. Analog zum reellen Vektorraum gilt dann

{\rm d}f(p)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial y^i}(p)\,\operatorname{d}y^i,

wobei {\rm d}y^i\colon T_pM\to\R das totale Differential der Funktion y^i \colon U \to \R ist, also das Element aus dem Kotangentialraum T_p^*M, das dual zum Basisvektor \dot\gamma_i(0) ist.

Betrachtet man Tangentialvektoren v \in T_p M als Derivationen, so gilt [df(p)](v) = v(f).

Kettenregel

Ist f \colon \R^n \to \R eine differenzierbare Funktion und ist g \colon \R \to \R^n, g(t) = (g_1(t), \dots, g_n(t)) ein differenzierbarer Weg (zum Beispiel die Beschreibung eines sich bewegenden Punktes), so gilt für die Ableitung der verketteten Funktion:

\begin{align}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(f \circ g)(t) &= [df(g(t))](g'(t)) = \nabla f(g(t)) \cdot g'(t) = \operatorname{grad}\,f(g(t)) \cdot  g'(t) \\
&= \frac{\partial f}{\partial x^1}(g(t)) g_1'(t) + \dots + \frac{\partial f}{\partial x^n}(g(t)) g_n'(t)\end{align}

Die analoge Aussage gilt für Mannigfaltigkeiten.

Differential und lineare Approximation

Die totale Ableitung einer total differenzierbaren Funktion f\colon \R^n \to \R im Punkt p \in \R^n ist eine lineare Abbildung (Funktion), die die Funktion

h \mapsto f(p + h) - f(p)

approximiert, also

f(p + h) - f(p) \approx \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)\, h_i\,, mit  h = (h_1, \dots, h_n),

für kleine Änderungen h_1, \dots, h_n.

In der modernen Mathematik bezeichnet man als (totales) Differential df(p) von f im Punkt p gerade diese Funktion (siehe oben). Die Begriffe „totales Differential“ und „totale Ableitung“ sind somit gleichbedeutend. Die Darstellung

\mathrm df(p) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)\, \mathrm dx_i

ist also eine Gleichung zwischen Funktionen. Auch die Differentiale dxi sind Funktionen, nämlich die Koordinatenfunktionen, die dem Vektor h = (h_1, \dots, h_n) die i-te Komponente hi zuordnen: dxi(h) = hi Die Approximierungseigenschaft schreibt sich somit als

f(p + h) - f(p) \approx [\mathrm df(p)](h).
Differentiale als kleine Änderungen

In der traditionellen, in vielen Naturwissenschaften verbreiteten Sichtweise stehen die Differentiale dxi für die kleinen Änderungen hi selbst. Das totale Differential df von f steht dann für den Wert der genannten linearen Abbildung, und die Approximationseigenschaft schreibt sich als

\Delta f = f(p + \mathrm dx) - f(p) \approx \mathrm df

bzw:

 f(p + \mathrm dx)  \approx  f(p) + \mathrm df

Beispiele für diese Sichtweise zeigen das nebenstehende Bild und das Bild oben.

Integrabilitätsbedingung

Jedes totale Differential A = df ist eine 1-Form, das heißt A besitzt folgende Darstellung

A(p) = \sum_{i=1}^n a_i(p) \,\operatorname{d}x^i

Im Kalkül der Differentialformen wird die Cartan-Ableitung dA als folgende 2-Form beschrieben:

{\rm d}A(p) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \left[\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(p)-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(p)\right] \operatorname{d}x^i\wedge \operatorname{d}x^j

Handelt es sich bei A tatsächlich um ein totales Differential df einer C2-Funktion f, d.h. gilt a_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}, so ist

{\rm d}A(p) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(p)-\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(p)\right] \operatorname{d}x^i\wedge \operatorname{d}x^j = 0

nach dem Satz von Schwarz.

Lokal gilt auch immer die Umkehrung: Erfüllt die 1-Form A die Bedingung dA = 0, so existiert zumindest in einer Umgebung jedes gegebenen Punktes eine Stammfunktion von A, d.h., eine differenzierbare Funktion f, so dass A = df ist.

Man nennt die Bedingung dA = 0 deshalb auch Integrabilitätsbedingung. Ausführlich formuliert lautet sie:

Für alle Indizes i,j gilt   \frac{\partial a_j}{\partial x_i}=\frac{\partial a_i}{\partial x_j},

bzw:

Für alle Indizes i,j gilt   \frac{\partial a_j}{\partial x_i}-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\equiv 0,

was im Hinblick auf physikalische Anwendungen auch als verallgemeinerte Rotationsbedingung bezeichnet wird.

In vielen Fällen existiert dann sogar eine globale Stammfunktion und A ist tatsächlich ein totales Differential. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn der Definitionsbereich der Differentialform A der euklidische Raum \R^n ist, oder allgemeiner wenn er sternförmig oder einfach zusammenhängend ist.

Die Aussage, dass auf einer Mannigfaltigkeit M jede 1-Form, die die Integrabilitätsbedingung erfüllt, eine Stammfunktion besitzt (also ein totales Differential ist), ist äquivalent dazu, dass die erste de-Rham-Kohomologie-Gruppe H_{\mathrm{dR}}^1(M) trivial ist.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Betrachtet man M=\R und eine beliebige 1-Form A = fdx. Dann gilt aus Dimensionsgründen immer dA = 0 und die für \R gültige Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Somit gibt es eine Funktion F, die die Gleichung {\rm d}F = f \,{\rm d}x bzw. F'\,=f erfüllt. Dies ist gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen.

Verallgemeinerungen

Ganz analog (im Prinzip komponentenweise) lässt sich die totale Ableitung für vektorwertige Funktionen definieren und in ähnlicher Weise auch für Abbildungen in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

In der Funktionalanalysis kann man den Begriff der totalen Ableitung in naheliegender Weise für Fréchet-Ableitungen verallgemeinern, in der Variationsrechnung für die sog. Variationsableitungen.

Literatur

  • Alle Lehrbücher der Analysis, üblicherweise Band 2, „Mehrere Veränderliche“, etc.

Quellen

  1. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure. Band 2, 5. Auflage, 1990.
  2. Ilja N Bronstein; Konstantin A Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 7. überarb. und erg. Aufl., Harri Deutsch, Frankfurt 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9

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