Jordan-Chevalley-Zerlegung

Die Jordan–Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Lie-Algebren. Benannt wurde die Jordan–Chevalley-Zerlegung nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley. Diese Zerlegung ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen.

Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus $x: V \rightarrow V$ eines endlichdimensionalen Vektorraums V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe x = x_s + x_n, worin x_s ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und x_n ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt x_sx_n = x_nx_s.

Ist allgemeiner L eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer $[\cdot, \cdot]$) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und $x \in L$, so bezeichnet man x = x_s + x_n als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus ad(x_s) ist halbeinfach, der Endomorphismus ad(x_n) ist nilpotent, und es gilt [x_s,x_n] = 0. Darin wird für jedes $y \in L$ die Abbildung ad(y) folgendermaßen definiert:

${\rm ad}(y): L \rightarrow L\ ,\ z \mapsto [y, z]$,

welches ein Endomorphismus von L ist.

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall L = End(V), versehen mit der Lie-Klammer [f,g]: = fg − gf, überein.

Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar.

Siehe auch

• Jordansche Normalform

Literatur

• Serge Lang, Algebra (3 ed), Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-55540-9. Chap.XIV.2, p.559.

Weblinks

• Jordan-Chevalley-Zerlegung und Cartan-Kriterium (PDF-Datei; 178 kB)
• Klaus Hulek: Lineare Algebra II, S. 52 (Skript an der Uni Hannover) (PDF-Datei; 2,35 MB)