Algebraisch abgeschlossen

In der abstrakten Algebra heißt ein Körper K algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht konstante Polynom in einer Variablen mit Koeffizienten in K eine Nullstelle in K hat. Folgende Eigenschaften sind äquivalent:

• K ist algebraisch abgeschlossen
• jedes Polynom $f\in K[X]\setminus K$ zerfällt über K in Linearfaktoren
• die irreduziblen Polynome in K[X] sind genau diejenigen vom Grad 1
• für jede algebraische Erweiterung L / K gilt L = K
• für jede natürliche Zahl n hat jeder Endomorphismus von Kⁿ einen Eigenvektor

Beispielsweise ist der Körper der reellen Zahlen nicht algebraisch abgeschlossen, denn das Polynom X² + 1 hat in $\R$ keine Nullstelle. Der Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen dagegen ist algebraisch abgeschlossen; diese Aussage bildet den Fundamentalsatz der Algebra. Der Körper der algebraischen Zahlen über $\mathbb{Q}$ ist trivialerweise algebraisch abgeschlossen. Es gibt keinen endlichen algebraisch abgeschlossenen Körper, denn ist $|K|=n<\infty$, so ist Xⁿ − X + 1 mit dem Satz von Lagrange identisch 1 und hat somit keine Nullstelle in K.

Ist ein Körper nicht algebraisch abgeschlossen, dann kann man ihm formal die Nullstellen von Polynomen über diesem Körper hinzufügen, und unter Verwendung des Lemmas von Zorn einen algebraischen Abschluss dieses Körpers konstruieren.