Nilpotenz

Nilpotenz

Nilpotenz ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik: Ein Element x eines Rings wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass xn = 0. Ein Ideal I von R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass In = 0.

Beispiele

  • Diese Definition lässt sich insbesondere auf quadratische Matrizen anwenden. Beispielsweise ist die Matrix
A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}
nilpotent, weil A3 = 0.
Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix.
  • Im Restklassenring \mathbb{Z} / 8\mathbb{Z} sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder Einheit.
  • Im Restklassenring \mathbb{Z} / 12\mathbb{Z} sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.
  • Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da 01 = 0 ist.

Eigenschaften

Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.

Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.

Sei im folgenden R ein Ring, a ein nilpotentes Element von R und n die kleinste natürliche Zahl mit an = 0.

  • Ist a \neq 0, dann ist n > 1 und a ist Nullteiler, denn aan − 1 = 0 und a^{n-1} \neq 0.

Ist zusätzlich R ein Ring mit 1, dann gilt:

  • a ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus ab = 1 für ein Ringelement b folgt der Widerspruch 0 = anb = an − 1 (n war minimal gewählt!).
  • 1-a ist invertierbar, denn es gilt (1 − a)(1 + a + a2 + ... + an − 1) = 1 − an = 1 = (1 + a + a2 + ... + an − 1)(1 − a).
  • Ist b eine Einheit von R, dann ist auch b + a invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als b+a = b\cdot (1-(-b^{-1}a)) sieht.

Sei R ein Restklassenring \mathbb{Z} / m\mathbb{Z} und p das Produkt aller Primteiler von m, d. h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung (PFZ) von m auftreten. Z. B. für m=12=2^2\cdot 3 ist p=6 = 2\cdot 3. Dann sind die nilpotenten Elemente von R genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von p sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist k der größte Exponent, der in der PFZ vom m auftritt, dann ist pk ein Vielfaches von m; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom m ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von m besitzen.


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