Koordinatensystem

Globus

Ein Koordinatensystem (mathematisches Kürzel: KOS) dient zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum.

Verwendung

Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik zur Bezeichnung von Positionen im Raum. Sie werden in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. Auch im Alltag werden Koordinatensysteme häufig verwendet:

• Längen- und Breitengrade bilden ein geographisches Koordinatensystem der Erde.
• In Spielen wie Schiffe versenken oder beim Schachbrett werden Felder mit Koordinaten wie B3 bezeichnet.
• Wanderkarten und Stadtpläne sind meist in Koordinaten-Quadrate eingeteilt. In der Quadratestadt Mannheim bilden die Innenstadtstraßen das Koordinatensystem.
• Die Lage von Hydranten werden durch ein vom Hinweisschild ausgehendes Koordinatensystem beschrieben.

• 

  2-dimensionale kartesische Koordinaten zur Lokalisierung von Hydranten

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  Mannheimer Straßenschild

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  Schachbrett

• 

  Ortsplan

Koordinate

Eine Koordinate ist eine von mehreren Zahlen, mit denen man die Lage eines Punktes in einer Ebene oder in einem Raum angibt. Jede der zur Beschreibung erforderlichen Dimensionen wird durch eine Koordinate ausgedrückt. Wird ein Ort durch zwei Koordinaten beschrieben, beispielsweise auf der Landkarte, spricht man von einem "Koordinatenpaar" beziehungsweise einem "Koordinatenkreuz". Der Fachbegriff der Koordinate, in der Bedeutung „Lageangabe“, wurde im 18. Jahrhundert aus dem Wort Ordinate (Senkrechte) gebildet.^[1]

Koordinatenursprung, Pol

Der Koordinatenursprung (mathematisches Kürzel: KOU) bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird auch Nullpunkt genannt, oder bei Polarkoordinaten "Pol".

Durch den Ursprung verlaufen häufig, aber nicht zwingend die Koordinatenachsen, siehe auch Achsenbeschriftung. Geographische Koordinatensysteme haben keine Koordinatenachse.

Mathematische Grundlagen

Die Position eines Punktes im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch die Angabe von Zahlenwerten oder Größenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Entsprechend lässt sich die Position eines durch mehrere Punkte bestimmten Objekts (Linie, Kurve, Fläche, Körper) über deren Koordinaten angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes. In diesem Sinne bezeichnet man eine Ebene als zweidimensionalen Raum. Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als n-Tupel von reellen Werten (allgemeiner: von Elementen des zugrundeliegenden Körpers) auf.

Die am häufigsten verwendeten Koordinatensysteme – dies gilt besonders für die Schulmathematik – sind das kartesische Koordinatensystem, allgemeiner das affine Koordinatensystem sowie die Polarkoordinatensysteme.

In projektiven Räumen wird ein Punkt durch seine Koordinaten in Bezug auf ein projektives Koordinatensystem dargestellt. Diese Koordinaten werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet und werden in dieser Form auch für "gewöhnliche" Punkte verwendet, die auch mit affinen bzw. kartesischen Koordinaten beschrieben werden könnten. Hier ist eine zusätzliche "homogenisierende" Koordinate erforderlich, ein Punkt in einem n-dimensionalen Raum wird also durch n + 1 homogene Koordinaten beschrieben.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Position eines Punktes im Raum kann in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. Dabei wird die Position durch Koordinaten ausgedrückt. Je nach verwendetem Koordinatensystem hat derselbe Punkt unterschiedliche Koordinatenwerte.

Kugel und Ebene im Raum

Bei symmetrischen Systemen, bei denen eine Dimension überall gleich ist, kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Zum Beispiel genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche die Angabe von lediglich zwei Koordinaten (Längengrad und Breitengrad), denn die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Wenn hingegen zusätzlich die Höhe eines Punktes beschrieben werden soll, muss diese als dritte Koordinate zusätzlich erfasst werden. Dafür wird zusätzlich eine Höhenbezugsfläche benötigt.

Runde Körper, beispielsweise die Erde oder andere Himmelskörper, werden durch sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) beschrieben. (Besonderheit: Koordinatensingularität)

Eine Ebene im Raum wird mit kartesischen Koordinaten beschrieben: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt.

Gerade, krumm und orthogonal

Man unterscheidet zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensysteme orthogonal.

Arten von Koordinatensystemen, jeweils mit dem Punkt P=(3;2). a) geradlinige b) geradlinige orthogonale c) krummlinige orthogonale d) krummlinige

geradlinige Koordinatensysteme

affine Koordinaten, Vektorraum

geradlinige orthogonale Koordinatensysteme

Kartesisches Koordinatensystem

krummlinige Koordinatensysteme

krummlinige Koordinatensysteme sind meist gleichzeitig orthogonal:

krummlinige orthogonale Koordinatensysteme

ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten

räumliche und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Elliptische Koordinaten

Toruskoordinaten

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Spezielle Koordinatensysteme

Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Wenn für diesen Raum das Newtonsche Trägheitsgesetz der klassischen Physik gilt, spricht man von einem Inertialsystem.

Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowski-Raum der Relativitätstheorie.

Diese Räume lassen sich durch kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, die entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden.

Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander.

Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten.

Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Kartografie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:

• Geodätisches Koordinatensystem
• Geographisches Koordinatensystem
• Soldner-Koordinatensystem
• Gauß-Krüger-Koordinatensystem
• UTM-Koordinatensystem
  • UTM-Referenzsystem auch MGRS
• Astronomische Koordinatensysteme wie das ekliptikale oder galaktische
• Baryzentrische Koordinaten
• Trilineare Koordinaten
• Parallele Koordinaten
• Bewegte Koordinatensysteme
• Rotierende Koordinatensysteme
• Fahrzeugkoordinatensystem
• Weltkoordinatensystem

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Einer Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen.

Wenn eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.

Rechts- und linkshändige Koordinatensysteme

Links- und rechtshändiges (rechts) dreidimensionales Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem wird nicht nur durch die Norm, also die Länge "1", die Grad- oder Krummlinigkeit der Hauptachsen, also der Koordinatenachsen und die Winkel zwischen den Koordinatenachsen unterschieden, sondern auch durch die Orientierung und den Drehsinn des Koordinatensystems. Beide Eigenschaften beschreiben gemeinsam den Zusammenhang der Koordinatenachsen bei rotatorischer Transformation einer Achse in eine andere.

Man unterscheidet zwischen rechts- und linkshändigen Koordinatensystemen, wobei rechtshändige Koordinatensysteme vereinbarungsgemäß einen mathematisch positiven Drehsinn besitzen. Zur Überprüfung, ob ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem die hierzu übliche rechtshändige Achsenorientierung einhält, verwendet man die sogenannte Drei-Finger-Regel der rechten Hand.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Etymologie nach Kluge Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache, 24. Auflage, 2002

Weblinks

• Einfache und verständliche Erklärung (hpts. durch Abbildungen)
• Mathematisch exakte Definitionen (mit Formeln)