Kartesisches Blatt

Kartesisches Blatt für a = 1

Das kartesische Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) ist eine ebene Kurve 3. Ordnung, die nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt ist.

Gleichungen des kartesischen Blattes

• Kartesische Koordinaten: $x^3 + y^3 - 3 a x y \, = \, 0$

• Polarkoordinaten: $r = \frac{3 a \cos\varphi \sin\varphi}{(\cos\varphi)^3 + (\sin\varphi)^3}$

• Parametergleichung: $x = \frac{3 a t}{1 + t^3}; \qquad y = \frac{3 a t^2}{1 + t^3}$

Eigenschaften des kartesischen Blattes

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

• Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Gleichung y = x). Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel mit den Koordinaten $\left(\tfrac{3}{2}a\left|\tfrac{3}{2}a\right.\right)$.

• Der Ursprung des Koordinatensystems ist Doppelpunkt der Kurve. Die x- bzw. die y-Achse sind die jeweiligen Tangenten im Ursprung.

• Die Gerade mit der Gleichung x + y + a = 0 (in der Skizze blau gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.

• Für beide Kurvenzweige beträgt der Krümmungsradius im Ursprung $\tfrac{3}{2}a$.

• Die Schleife des kartesischen Blattes schließt eine Fläche mit dem Inhalt $\tfrac{3}{2} a^2$ ein.

• Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt $\tfrac{3}{2} a^2$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Folium of Descartes. In: MathWorld. (englisch)
• Folium of Descartes. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)