- Kartesisches Koordinatensystem (Geodäsie)
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Achsenorientierung und Drehsinn geodätischer und mathematischer Koordinatensysteme
Neben den der Ellipsoidgestalt der Erde angepassten geographischen Koordinaten Länge und Breite werden in der Geodäsie auch kartesische Koordinatensysteme benutzt, die sich auf eine Kartenprojektion beziehen. Bei diesen sind im Gegensatz zu den kartesischen Koordinatensystemen der Mathematik die x- und y-Achsen vertauscht, wodurch sich der Drehsinn des Koordinatensystems vom „mathematisch positiven“ bzw. linksläufigen zum „geodätisch positiven“ bzw. rechtsläufigen (Uhrzeigersinn) ändert.
Die nach Norden (bzw. in der zeichnerischen Darstellung nach „oben“) zeigende x-Achse wird dabei allerdings weiter als Abszisse bezeichnet, die nach Osten (bzw. in Zeichnungen nach „rechts“) zeigende y-Achse entsprechend weiterhin als Ordinate. Die dritte bzw. z-Achse schließlich, Applikate, in der Geographie auch Kote genannt, spielt in zweidimensionalen, d. h. ebenen kartesischen Koordinatensystemen zunächst einmal keine Rolle. In dem Maße jedoch, wie auch in der Geodäsie dreidimensionale Raumbezüge an Bedeutung gewinnen (zum Beispiel durch Satellitenpositionierung) entsteht hier ebenso die Notwendigkeit, die Applikate als dritte Koordinatenachse mit einzubeziehen.
Inhaltsverzeichnis
Koordinatenursprung
Die Abbildung zeigt ein fiktives Koordinatensystem mit dem in der Praxis (UTM, GK) weitverbreiteten false easting von 500.000 m. Der Hochwert ist fiktiv, die Neigung der benachbarten Längengrade ebenfalls.Für den Längengrad des Fundamentalpunktes oder, entsprechend, dem Mittelmeridian einer transversalen Mercator-Projektion wird dazu statt eines Koordinatenwertes 0 je nach der Ausdehnung des abzubildenden Gebietes sowie anderen praktischen Erwägungen ein Koordinatenwert willkürlich festgesetzt („false easting“, siehe nebenstehende Abb.). So erhält man für jeden darstellbaren Punkt einen positiven „Rechtswert“ (y-Wert). Da mit der Nord-Süd-Richtung („Hochwert“, x-Wert) entsprechend verfahren wird, ergibt sich für gewöhnlich eine Beschränkung auf den ersten Quadranten des Koordinatensystems, d.h. es werden zwar alle Quadranten definiert, praktisch benutzt aber werden nur Koordinaten des ersten Quadranten.
Rechtswert (y-Wert)
Als Rechtswert wird in ebenen kartesischen geografischen Koordinatensystemen der Abstand einer Koordinate von der (hier vertikal verlaufenden) Abszisse bzw. x-Achse bezeichnet. Der Rechtswert gibt also die Entfernung zum nächsten Mittelmeridian an und entspricht damit dem y-Wert bzw. dem englischen „easting“.
Zur besseren Handhabung in der Praxis vermeidet man negative Rechtswerte (für Gebiete westlich der Abszisse bzw. des Bezugsmeridians), indem man statt Null (also dem Mittelmeridian) willkürlich einen definierten Rechtswert festsetzt (im englischen Sprachraum als "false easting" bezeichnet, s.o.).
So wurde beispielsweise der Koordinatenursprung der schweizerischen Landesvermessung um 600 km nach Westen in die Gegend von Bordeaux verschoben, um eine Verwechslung von Rechts- und Hochwert auszuschließen: Koordinatenwerte unter 400.000 m müssen dort Hochwerte sein, Werte darüber sind immer Rechtswerte, sodass keine Reihenfolge der Koordinatenbestandteile definiert zu werden braucht bzw. Vertauschungen anhand der Werte erkannt werden können. Das finnische YKJ-System verlegt den Koordinatenursprung gar um 3.500 km westlich, um horizontal wie vertikal immer 7-stellige Koordinaten zu erhalten. Ein false-easting von 500 km für den Mittelmeridian wie beim UTM-Koordinatensystem sorgt dafür, dass sich der gesamte gültige Wertebereiche des Rechtswerts (6-stellig) zwischen 100.000 und 900.000 hält.
Beispiel im Gauß-Krüger-System (mit 500km false easting): R 4541238. R verdeutlicht, dass es sich um den Rechtswert handelt. Die erste Zahl (in diesem Fall die 4) stellt die Kennziffer für den jeweiligen Längengrad dar. Hier also für den Mittelmeridian 12°E (4*3=12). Die restlichen Zahlen geben nun in Metern an, wie weit der Punkt vom Mittelmeridian entfernt ist, nachdem man die 500km abgezogen hat. Die gesuchte Linie (erst mit einem dazugehörigen Hochwert ergibt sich ein Punkt) liegt also 41,238km östlich des Längengrads 12°E (bzw. Zone 4)
Hochwert (x-Wert)
Als Hochwert wird der in Nord-Richtung gemessene Abstand einer Koordinate zu ihrem Fußpunkt auf der waagerecht verlaufenden Basislinie des Koordinatensystems (hier der y-Achse) bezeichnet. Die Bezeichnung Hochwert entspricht damit dem x-Wert bzw. dem englischen „northing“, wobei durch entsprechend gewählte Lagen der y-Achse (z.B. für Europa auf dem Äquator) ebenfalls immer positive Hochwerte erreicht werden können.
Rechts- und Hochwert bilden die zweidimensionalen Koordinaten eines Punktes.
Anwendungen
Auf Grund der Kugelform der Erde können kartesische Koordinatensysteme nur Gebiete begrenzter Ausdehnung praktisch ohne Verzerrungen (längentreu) abbilden. Sie gingen historisch von einem lokalen Fundamentalpunkt trigonometrischer Landvermessungen aus und wurden entlang einer Mittelsenkrechten (Längen-Null, Mittelmeridian) aufgespannt, die typischer- aber nicht notwendigerweise dem Meridian des Fundamentalpunktes entsprach. Moderne Koordinatensysteme nutzen als Bezugs- oder Mittelmeridian durch 3 teilbare Längengrade.
Praktische Anwendungen kartesischer Koordinatensysteme in der Geodäsie sind
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