Knuths Pfeilnotation

Der Hyper-Operator ist eine Fortsetzung der herkömmlichen mathematischen Operatoren der Addition, Multiplikation und Potenzierung. Er dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen.

$\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b = a \uparrow^{n-2} b$

Herleitung der Notation

Ausgehend von den Beobachtungen

• $a + b = 1 + \left( a + (b - 1) \right)$
• $a \cdot b = a + \left( a \cdot (b - 1) \right)$
• $a^b = a \cdot \left( a^{(b - 1)} \right)$

definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator (mit $a,b,n \ge 0$)

$a^{(n)} b:= \begin{cases} b + 1, & \text{wenn } n = 0\\ a + b, & \text{wenn }n = 1, b = 0\\ 0, & \text{wenn }n = 2, b = 0\\ 1, & \text{wenn }n > 2, b = 0\\ a^{(n-1)} \left( a^{(n)} (b - 1) \right) & \text{sonst} \end{cases}$

und führt folgende Bezeichnungen ein:

$\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^{(n)} b.$.

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz und kann folgendermaßen notiert werden:

$\operatorname{hyper4}(a,b)={}^{b}a$.

Allgemeinverständlicher könnte man auch sagen: Schreibe die Zahl a b-mal hintereinander und füge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein.

Die Familie wurde für n > 3 nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere „offensichtliche“ Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Knuths Pfeilnotation

Siehe Hauptartikel: Pfeilschreibweise

Eine andere Schreibweise für den Hyperoperator wurde von Donald Knuth entwickelt, welche als Pfeilnotation bekannt ist. Die Definition ist

$a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k \mbox{ mal}} b := \left\{ \begin{matrix} a^b & \mbox{falls } k=1\\ \underbrace{a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} \dotsb \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a}_{b \mbox{ mal}} & \mbox{sonst} \end{matrix} \right.$

Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils $\uparrow$ das Zeichen $\hat{\hbox{ }}$. Mit der Definition gilt gerade

$a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{n \mbox{ mal}} b = a \underbrace{\hat{\hbox{ }} \dotsb \hat{\hbox{ }}}_{n \mbox{ mal}} b = \operatorname{hyper}(a, n+2, b) = a^{(n+2)}b$.

Diese Notation wird für die Darstellung von sehr großen Zahlen wie etwa Grahams Zahl benutzt.

Eine andere Erweiterung

Es gibt eine andere Möglichkeit, aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknüpfung zu erhalten, denn es gilt auch

• $\,a+b = (a+(b-1))+1$
• $a\cdot b = (a\cdot (b-1))+a$
• $a^b = \left(a^{(b-1)} \right)\cdot a$,

weil die Verknüpfungen + und $\cdot$ kommutativ sind.

Daraus ergibt sich die Definition

$a_{(n)} b:= \begin{cases} a+b, & \text{wenn }n=1 \\ 0, & \text{wenn }n=2,b=0 \\ 1, & \text{wenn }n>2,b=0 \\ \left( a_{(n)} (b - 1) \right)_{(n-1)}a, & \text{sonst.} \end{cases}$

Diese Notation „kollabiert“ jedoch für n = 4; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenz-Turm mehr:

$a_{(4)}b = a^{\left(a^{(b-1)}\right) }$

Wie können sich a⁽ⁿ⁾b and a_(n)b plötzlich für n > 3 unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren + und $\cdot$ besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist $a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{b\cdot c}$.)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt "niedere hyper-Operatoren" von Interesse ist.

Beispiele

Addition

3⁽¹⁾3 = 3 + 3 = 6.

Multiplikation

$3^{(2)} 3 = 3 \cdot 3 = 3 + 3 + 3=9.$

Potenz

$3^{(3)} 3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3=27.$

Tetration

$\begin{align} 3^{(4)}3 & = 3^{3^{3}}\\ & = 3^{(3)}(3^{(4)}2)\\ & = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))\\ & = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0)))\\ & = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))\\ & = 3^{3^{3^{1}}}\\ & = 3^{27}\\ & = 7625597484987. \end{align}$

Zu beachten ist hier, dass $3^{3^{3}} = 3^{(3^{3})}$ gilt, siehe hierzu auch bei Potenzturm.

Siehe auch

• Ackermannfunktion
• Grahams Zahl

Weblinks (englisch)

• What Lies Beyond Exponentiation?
• On extending hyper4 to nonintegers
• The Dictionary of Large Numbers (Dictionary's author Robert Munafo claims the (n) notation as his own—it's alright to use it, but it's not a standard.)
• Lynz and the Clarkkkkson
• The Tetration Forum