Kontinuum (Mathematik)

In der Mathematik nennt man jede Menge, welche die Mächtigkeit der reellen Zahlen hat, das Kontinuum.

Man kann (etwa mit den ZF-Axiomen, sogar ohne das Auswahlaxiom) zeigen, dass die folgenden Mengen alle gleichmächtig sind:

1. $\R$, die Menge aller reellen Zahlen
2. $\mathbb C$, die Menge aller komplexen Zahlen
3. [0,1], die Menge aller reellen Zahlen die zwischen 0 und 1 liegen (inklusive 0 und 1)
4. $\R\setminus \Q$, die Menge aller Irrationalzahlen
5. ${\mathcal P}({\N})$, die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen, also die Potenzmenge von $\N$
6. $\left\{0,1\right\}^{\N}$, die Menge aller Funktionen mit Definitionsbereich $\N$ und Zielbereich {0,1}
7. $\N^{\N}$, die Menge aller Folgen von natürlichen Zahlen
8. $\R^{\N}$, die Menge aller Folgen von reellen Zahlen.
9. $\{f\colon\R\to\R\mid f\text{ stetig}\}$, die Menge aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$.

Die Mächtigkeit dieser Menge (oder ihre Kardinalzahl) wird üblicherweise $\mathfrak c$ (Fraktur c, für continuum) oder $\aleph$ (Aleph, der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets) genannt. Da es sich um die Potenzmenge von $\N$ handelt und deren Mächtigkeit $\aleph_0$ heißt, schreibt man dafür auch $2^{\aleph_0}$.

Es hat sich gezeigt, dass sehr viele weitere Strukturen, die in der Mathematik untersucht werden, dieselbe Mächtigkeit haben.

In der Analysis handelt es sich dabei in aller Regel um Mengen reeller Zahlen, welche entweder höchstens abzählbar sind oder die eine Cantor-Menge enthalten; die letztere hat die Mächtigkeit $\mathfrak c$.

Die vielleicht naheliegende Vermutung, dass tatsächlich alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen eine Cantor-Menge enthalten, kann man widerlegen (allerdings nur mit Hilfe des Auswahlaxioms; ein Gegenbeispiel ist ohne eine Wohlordnung der reellen Zahlen nicht explizit konstruierbar).

Die etwas schwächere Vermutung, dass alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen zumindest gleichmächtig mit den reellen Zahlen sind, heißt Kontinuumshypothese. Sie ist (mit den üblichen Axiomen) weder widerlegbar noch beweisbar.