Kozai-Effekt

Der Kozai-Effekt beschreibt in der Himmelsmechanik eine periodische Bahnstörung, die eine Änderung der Exzentrizität und Bahnneigung (Inklination) des gestörten Objektes bewirkt.

Der Effekt wurde 1962 von Yoshihide Kozai (古在 由秀, Kozai Yoshihide) beschrieben, der die Bahnen von Asteroiden analysierte. Seitdem gilt die Kozai-Resonanz als ein bedeutender Faktor bei der Entstehung der Bahnen einiger Körper im Sonnensystem (irreguläre Satelliten der Planeten, Transneptunische Objekte, einiger extrasolarer Planeten und Mehrfachstern-Systeme).

Kozai-Resonanz

Zur Erklärung des Mechanismus betrachtet man ein Dreikörpersystem, das aus einem Zentralkörper (z. B. Sonne), einem diesen umlaufenden relativ großen Körper (z. B. Planet) und einem kleinen Körper (z. B. Asteroid), der ebenfalls den Zentralkörper umläuft, besteht. Der kleine Körper, der auf einer elliptischen Bahn mit einer Exzentrizität e und Inklination i relativ zur Bahn des „Planeten“ um den Zentralkörper läuft, besitzt Bahnelemente, die durch den großen umlaufenden Körper säkular gestört werden. Im störungstheoretischen Ansatz ist dann allerdings der folgende Wert zeitlich konstant:

$\Theta:=(1-e^2) \cos^2 i\,.$

Diese Konstante der Bewegung eröffnet die Möglichkeit, dass es zu einer Austauschbeziehung zwischen Inklination und Exzentrizität kommen kann: steigt die Inklination, so sinkt die Exzentrizität und umgekehrt. Nahezu kreisförmige Bahnen mit hoher Inklination können also zu sehr exzentrischen Bahnen mit niedriger Inklination verändert werden. Bei bestimmten Konstellationen kommt es dann zu einer periodischen, synchronen Schwankung der beiden Größen. Da eine Vergrößerung der Exzentrizität bei gleich groß bleibender großer Bahnhalbachse dazu führt, dass die Periapsis der Bahn verkleinert wird, kann dieser Mechanismus beispielsweise dazu führen, dass die Bahnen von Kometen im Laufe der Zeit so geändert werden, dass diese in die Sonne stürzen.

Sind die Inklination und Exzentrizität des kleinen Körpers recht klein, erhält man als Ergebnis einer solchen Störung allerdings keinen resonanten Austausch zwischen Exzentrizität und Inklination, sondern nur ein säkulares Fortschreiten des Arguments des Perizentrums, d.h. eine „Periheldrehung“. Ist die anfängliche Inklination jedoch groß genug ergibt sich stattdessen eine Libration des Perizentrums, d.h. das Argument des Perizentrums oszilliert um einen konstanten Wert. Gleichzeitig kommt es zu einem resonanten Austausch zwischen Inklination und Exzentrizität, die zwischen minimalen und maximalen Werten periodisch schwanken. Der minimal erforderliche anfängliche Inklinationswinkel bei zunächst fast kreisförmiger Bahn, Kozai-Winkel genannt, ist abhängig vom Abstand des störenden „Planeten“ zum kleinen Körper. Ist dieser Abstand sehr groß, so findet man:

$i_0=\arccos\left(\sqrt\frac{3}{5}\right) \approx 39{,}2^\circ.$

Der Übergang zwischen „Periheldrehung“ und Kozai-Effekt findet also bei einem Wert für die Konstante der Bewegung von

Θ₀ = 0,6

statt. Befindet sich der störende große Körper näher am Orbit des kleinen Körpers steigt dieser Grenzwert und entsprechend sinkt der Kozai-Winkel.

Für retrograd umlaufende Satelliten ist zu beachten, dass die Werte der Inklination zwischen 90° und 180° liegen, wodurch der Tatsache Rechnung getragen wird, dass diese „rückwärts“ um den Zentralkörper laufen. Der Kozai-Winkel ist in diesem Fall ein Maximalwert und liegt entsprechend für weit entfernte Störkörper bei 140,8°.

Konsequenzen

Die Kozai-Resonanz führt zu Einschränkungen in den möglichen Bahnen in einem System, zum Beispiel:

• für reguläre Monde: ist die Bahn eines Mondes stark geneigt zu der seines Planeten, dann steigt die Exzentrizität der Mondbahn solange bis der Mond durch Gezeitenkräfte zerstört wird.
• für irreguläre Monde: wie oben, nur dass die steigende Exzentrizität zu einer Kollision mit einem regulären Mond oder zum Herausschleudern des Satelliten aus der Hill-Sphäre führt.

Quellen und Literatur

• Y. Kozai, Secular perturbations of asteroids with high inclination and eccentricity, Astronomical Journal 67, 591 ADS
• C. Murray and S. Dermott Solar System Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-57597-4
• Innanen et al. The Kozai Mechanism and the stability of planetary orbits in binary star systems, The Astronomical Journal,113 (1997).