Kroneckersches Lemma

Das Kroneckersche Lemma handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Es ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker.

Lemma

Sei $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen.

Sei $(b_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine monotone, unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen.

Falls $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{b_k}$ konvergiert, so folgt $\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n}a_k \to 0$.

Folgerung

Obiges Lemma vereinfacht sich beim Setzen von b_k = k für alle $k\in\mathbb{N}$ zu folgender Aussage:

Sei $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen.

Falls $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{k}$ konvergiert, so folgt $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k \to 0$.

Anwendung

Das Kroneckersche Lemma kann man zum Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwenden.

Literatur

• Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2005, ISBN 9783519123958. Seiten 190 und 194
• Acta Mathematica Hungarica, Volume 44, Numbers 1-2, März 1984, Seiten 143 und 144