Kürzbarkeit

Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma (M, * ).

Definition

Ein Element $c \in M$ heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle $a, b \in M$ gilt:

$c*a = c*b \implies a = b,$

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle $a, b \in M$ gilt:

$a*c = b*c \implies a = b.$

$c \in M$ heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn c links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel

• In einem Ring $(R, +, \cdot)$ ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe (S, * ) heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes $a \in S$ kürzbar ist.

Beispiele

• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition $(\mathbb N, +)$ oder mit der üblichen Multiplikation $(\mathbb N, \cdot)$ ist eine kürzbare Halbgruppe.
• Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum $(\mathbb N, \text{max})$ oder mit dem Minimum $(\mathbb N, \text{min})$ ist keine kürzbare Halbgruppe.