Kleinstes Element

Das größte Element (Maximum) und das kleinste Element (Minimum) sind Begriffe aus der Mengenlehre, genauer der Ordnungstheorie.

Ein Element einer geordneten Menge ist das größte Element der Menge, wenn alle anderen Elemente kleiner sind. Es ist das kleinste Element der Menge, wenn alle anderen Elemente größer sind. Weder das größte noch das kleinste Element einer Menge muss existieren, ist aber im Fall seiner Existenz jeweils eindeutig bestimmt.

Eine Maximumsfunktion liefert das größte ihrer Argumente als Wert, eine Minimumsfunktion liefert das kleinste ihrer Argumente.

Die Abkürzungen max und min sind gebräuchlich, seltener auch Max und Min.

Definitionen

$(X, \le)$ sei eine partielle Ordnung, $M \subseteq X$ eine Teilmenge der Grundmenge X und $x \in M$.

$x\$ ist größtes Element von $M\$ $: \Longleftrightarrow \forall y \in M: y \le x$

$x\$ ist kleinstes Element von $M\$ $: \Longleftrightarrow \forall y \in M: x \le y$

Aus der Antisymmetrie der Ordnungsrelation folgt sofort, dass sowohl das größte als auch das kleinste Element (falls vorhanden) eindeutig bestimmt ist.

Das größte Element von M wird auch das Maximum von M genannt, das kleinste Element das Minimum. Die Notationen max(M) und min(M) werden gelegentlich verwendet. Man beachte jedoch, dass die Begriffe maximales Element und minimales Element nicht äquivalent sind, falls keine Totalordnung vorliegt.

Das kleinste und das größte Element von X selbst (falls sie existieren) werden manchmal mit 0 und 1 oder auch mit $\bot$ und $\top$ bezeichnet.

Eine Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, nennt man eine Wohlordnung.

Beispiele

• 1 ist das größte Element der Menge $\left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots \right\}$ von rationalen Zahlen. Die Menge hat kein kleinstes Element.
• $0\$ ist das kleinste Element der Menge $\left\{0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{4}, \tfrac{4}{5}, \dots \right\}$ von rationalen Zahlen. Die Menge hat kein größtes Element.
• Die Menge der positiven ganzen Zahlen hat ein kleinstes, aber kein größtes Element. Bei der Menge der negativen ganzen Zahlen ist es umgekehrt.
• In der bezüglich Inklusion geordneten Potenzmenge $\mathcal{P}(X)$ ist X das größte und die leere Menge $\varnothing$ das kleinste Element.
• Die Menge aller endlichen Teilmengen einer unendlichen Menge hat (bezüglich Inklusion) kein größtes Element.
• Ordnet man die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich 0) bezüglich der Teilbarkeit, ist 0 das größte Element, da 0 von jeder natürlichen Zahl geteilt wird. Das kleinste Element ist 1, da 1 jede natürliche Zahl teilt.
• Bei der (gewöhnlichen) Ordnung auf der Menge der natürlichen Zahlen hat jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element, es handelt sich also um eine Wohlordnung.

Eigenschaften

• Jede endliche nichtleere Kette hat ein größtes und ein kleinstes Element.
• Ist x das größte Element von M, dann ist x auch das einzige maximale Element von M. Die Umkehrung gilt nicht: Auch wenn M genau ein maximales Element hat, muss M kein größtes Element haben.

  Ein Beispiel dafür ist die Menge $\{2^i | i \in \mathbb{N} \} \cup \{3\}$ bezüglich der Teilbarkeitsrelation. 3 ist hier das einzige maximale Element, es ist allerdings nicht das größte Element, weil es nicht von allen anderen Elementen geteilt wird.

• Ist x das kleinste Element von M, dann ist x auch das einzige minimale Element von M. Die Umkehrung gilt nicht: Auch wenn M genau ein minimales Element hat, muss M kein kleinstes Element haben.
• Für totale Ordnungen stimmen die Begriffe größtes Element und maximales Element überein. Ebenso stimmen dafür kleinstes Element und minimales Element überein.
• Ist x das größte Element von M, dann ist x auch das Supremum von M. Umgekehrt gilt:

  Hat M kein Supremum, dann auch kein größtes Element.

  Hat M ein Supremum, das aber nicht in M liegt, dann hat M kein größtes Element.

  Hat M ein Supremum, das in M liegt, dann ist dies das größte Element von M.

• Ist x das kleinste Element von M, dann ist x auch das Infimum von M. Umgekehrt gilt:

  Hat M kein Infimum, dann auch kein kleinstes Element.

  Hat M ein Infimum, das aber nicht in M liegt, dann hat M kein kleinstes Element.

  Hat M ein Infimum, das in M liegt, dann ist dies das kleinste Element von M.

• Hat eine Menge mindestens zwei maximale Elemente, dann hat sie kein größtes Element. Hat sie mindestens zwei minimale Elemente, dann hat sie kein kleinstes Element.

Maximums- und Minimumsfunktionen

In einer totalen Ordnung (z. B. der gewöhnlichen Ordnung auf den reellen Zahlen) hat jede endliche nichtleere Menge ein Maximum und ein Minimum. Für $n \ge 2$ sind daher die Funktionswerte

$\max(x_1, x_2, \dots, x_n)$

$\min(x_1, x_2, \dots, x_n)$

als Maximum bzw. Minimum von $\left\{x_1, x_2, \dots,x_n\right\}$ wohldefiniert.

Die höherstelligen Funktionen lassen sich rekursiv auf die zweistelligen zurückführen:

$\max(x_1, x_2, \dots,x_n) = \max(x_1, \max(x_2, \dots,x_n))$

$\min(x_1, x_2, \dots,x_n) = \min(x_1, \min(x_2, \dots,x_n))$

Im Bereich der reellen Zahlen können die zweistelligen Funktionen auch so angegeben werden:

$\max(x_1, x_2) = \frac{x_1 + x_2 + | x_1 - x_2 |}{2}$

$\min(x_1, x_2) = \frac{x_1 + x_2 - | x_1 - x_2 |}{2}$

Damit ist nachgewiesen, dass max und min stetige Funktionen sind, weil Summe, Differenz, Betrag, Quotient stetige Funktionen sind und Kompositionen von stetigen Funktionen ebenfalls stetig sind.

Siehe auch

• Infimum und Supremum