Kürzbar

Kürzbar

Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Inhaltsverzeichnis

Kürzbare/reguläre Elemente

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma (M, * ).

Definition

Ein Element c \in M heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle a, b \in M gilt:

c*a = c*b \implies a = b,

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle a, b \in M gilt:

a*c = b*c \implies a = b.

c \in M heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn c links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel

  • In einem Ring (R, +, \cdot) ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe (S, * ) heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes a \in S kürzbar ist.

Beispiele

  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition (\mathbb N, +) oder mit der üblichen Multiplikation (\mathbb N, \cdot) ist eine kürzbare Halbgruppe.
  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum (\mathbb N, \text{max}) oder mit dem Minimum (\mathbb N, \text{min}) ist keine kürzbare Halbgruppe.

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