- LF-Raum
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(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum E, für den es eine Folge (En)n von Fréchet-Räumen gibt, so das folgendes gilt:
für alle
- Für jedes
trägt En die durch En + 1 gegebene Teilraumtopologie.
- E ist die Vereinigung aller En.
- E trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen
stetig macht.
In dieser Situation nennt man (En)n eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für E. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.
Beispiele
Jeder Fréchet-Raum E ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge En = E wählen.
Sei c00 der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man
mit dem Raum aller Folgen, die ab der (n + 1)-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist
eine darstellende Folge für den (LF)-Raum c00, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf c00 ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.
Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist
kompakt, so sei
der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in K. Ist
offen, so nennt den Raum
den Raum der Testfunktionen auf Ω.
trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen
stetig macht. Dann ist
ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge
nehmen, wobei (Kn)n eine Folge von kompakten Teilmengen in Ω ist, so dass jedes Kn im Inneren von Kn + 1 liegt und Ω die Vereinigung dieser Kn ist. Die Topologie auf
ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.
Eigenschaften
Beschränkte Mengen
Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge (En)n gilt folgender Satz:
- Eine Menge
ist genau dann beschränkt, wenn es ein
gibt, so dass
und B in En beschränkt ist.
Stetigkeit
Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum E mit darstellender Folge (En)n in einen anderen lokalkonvexen Raum F lässt sich wie folgt charakterisieren:
- Ein linearer Operator
ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen
stetig sind.
Vollständigkeit
Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.
Beziehungen zu anderen Räumen
(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:
Satz von Banach-Steinhaus: Ist
eine Familie stetiger linearer Operatoren
zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei E (LF)-Raum sei, und ist
für jedes
beschränkt, so ist
gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung
gibt es eine Nullumgebung
, so dass
für alle
.
Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung
zwischen (LF)-Räumen ist offen.
Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung
zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.
Anwendung
In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge
als lineare Abbildung
, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist
kompakt und ist (fn)n eine Folge in
, so dass jedes fn Träger in K hat und so dass
gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist
.
Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat Folgenstetigkeit zu betrachten, denn
ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von T auf
,
kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf
.
Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum
definieren.
Quellen
- K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
- F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9
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