LF-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum E, für den es eine Folge (E_n)_n von Fréchet-Räumen gibt, so das folgendes gilt:

1. $E_n \subset E_{n+1}$ für alle $n\in{\mathbb N}$
2. Für jedes $n\in{\mathbb N}$ trägt E_n die durch E_{n + 1} gegebene Teilraumtopologie.
3. E ist die Vereinigung aller E_n.
4. E trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen $E_n\subset E$ stetig macht.

In dieser Situation nennt man (E_n)_n eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für E. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum E ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge E_n = E wählen.

Sei c₀₀ der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man ${\mathbb K}^n$ mit dem Raum aller Folgen, die ab der (n + 1)-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist $({\mathbb K}^n)_n$ eine darstellende Folge für den (LF)-Raum c₀₀, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf c₀₀ ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist $K\subset {\mathbb R}^m$ kompakt, so sei $C^{\infty}(K)$ der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in K. Ist $\Omega\subset{\mathbb R}^m$ offen, so nennt den Raum ${\mathcal D}(\Omega) := \bigcup\{C^{\infty}(K);\, K\subset \Omega\,\, \text{kompakt}\}$ den Raum der Testfunktionen auf Ω. ${\mathcal D}(\Omega)$ trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen $C^{\infty}(K)\subset{\mathcal D}(\Omega)$ stetig macht. Dann ist ${\mathcal D}(\Omega)$ ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge $(C^{\infty}(K_n))_n$ nehmen, wobei (K_n)_n eine Folge von kompakten Teilmengen in Ω ist, so dass jedes K_n im Inneren von K_{n + 1} liegt und Ω die Vereinigung dieser K_n ist. Die Topologie auf ${\mathcal D}(\Omega)$ ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge (E_n)_n gilt folgender Satz:

• Eine Menge $B\subset E$ ist genau dann beschränkt, wenn es ein $n\in{\mathbb N}$ gibt, so dass $B \subset E_n$ und B in E_n beschränkt ist.

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum E mit darstellender Folge (E_n)_n in einen anderen lokalkonvexen Raum F lässt sich wie folgt charakterisieren:

• Ein linearer Operator $T:E\rightarrow F$ ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen $T|_{E_n}:E_n\rightarrow F$ stetig sind.

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist $(T_\alpha)_{\alpha\in I}$ eine Familie stetiger linearer Operatoren $E\rightarrow F$ zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei E (LF)-Raum sei, und ist $\{T_\alpha(x); \alpha\in I\}$ für jedes $x\in E$ beschränkt, so ist $(T_\alpha)_{\alpha\in I}$ gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung $V\subset F$ gibt es eine Nullumgebung $U\subset E$, so dass $T_\alpha(U)\subset V$ für alle $\alpha\in I$.

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung $T:E\rightarrow F$ zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung $T:E\rightarrow F$ zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge $\Omega\subset{\mathbb R}^m$ als lineare Abbildung $T:{\mathcal D}(\Omega)\rightarrow {\mathbb R}$, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist $K\subset \Omega$ kompakt und ist (f_n)_n eine Folge in ${\mathcal D}(\Omega)$, so dass jedes f_n Träger in K hat und so dass $f_n\to 0$ gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist $T(f_n)\to 0$.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat Folgenstetigkeit zu betrachten, denn ${\mathcal D}(\Omega)$ ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von T auf $C^{\infty}(K)$, $K\subset \Omega$ kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf ${\mathcal D}(\Omega)$.

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum ${\mathcal D}(\Omega)$ definieren.

Quellen

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9