Lemma von Bézout

Das Lemma von Bézout (nach Étienne Bézout (1730-1783)) in der Zahlentheorie besagt, dass sich der größte gemeinsame Teiler $\operatorname{ggT}(a,b)$ zweier ganzer Zahlen a und b als Linearkombination von a und b mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt:

$\operatorname{ggT}(a,b) = s \cdot a + t \cdot b$ mit $s,t\in\mathbb{Z}$.

Sind a und b teilerfremd, dann existieren $s,t\in\mathbb{Z}$, sodass

$1 = s \cdot a + t \cdot b$

gilt.

Die Koeffizienten s und t können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus effizient berechnet werden.

Allgemeiner gilt das Lemma von Bézout in jedem Hauptidealring, sogar in einem nicht-kommutativen; für die genauen Aussagen siehe dort.

Beweis

Der Beweis des Lemmas basiert auf der Möglichkeit der Division mit Rest. Somit lässt er sich leicht auf euklidische Ringe übertragen. Unter allen Zahlen $x = s \cdot a + t \cdot b$ mit $s,t\in\mathbb{Z}$ gibt es sicher auch solche die positiv und $\neq 0$ sind. Sei $d = s \cdot a + t \cdot b$ die kleinste Zahl unter diesen. Da $\operatorname{ggT}(a,b)$ sowohl a als auch b teilt, teilt $\operatorname{ggT}(a,b)$ auch d . Ist d = 1 , ist auch $\operatorname{ggT}(a,b) = 1$ und die Aussage bewiesen. Für den Fall d > 1 zeigen wir, dass d auch ein Teiler von a und b ist. Die Division mit Rest liefert uns eine Darstellung a der Form $q \cdot d + r$, wobei $0 \leq r < d$ . Setzt man für d die Darstellung $s \cdot a + t \cdot b$ ein und löst die Gleichung nach r auf, so erhält man $r = (1 - q \cdot s) \cdot a + (- q \cdot t) \cdot b$. Wegen der Minimailät von d muss r = 0 sein, also ist d ein Teiler von a. Entsprechend gilt auch, dass d ein Teiler von b ist, und somit gilt $d \leq \operatorname{ggT}(a,b)$. Vorher hatten wir schon gesehen, dass $\operatorname{ggT}(a,b)$ ein Teiler von d ist. Also gilt $d = \operatorname{ggT}(a,b)$.

Hauptideale

Verwendet man den Begriff des Ideals aus der Ringtheorie, so gilt grundsätzlich, dass die Hauptideale aR und bR in dem Hauptideal $\operatorname{ggT}(a,b)\;R$ enthalten sind. Also ist auch das Ideal aR + nR in $\operatorname{ggT}(a,b)\;R$ enthalten. Man kann das Lemma von Bézout auch so formulieren, dass für den Ring $R=\Z$ (oder allgemein für euklidische Ringe) gilt

aR + bR = cR, wenn $c = \operatorname{ggT}(a,b)$

Hauptidealringe sind Ringe, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist. Dort gibt es zu Elementen a und b des Ringes immer ein Element c, sodas das Ideal aR + nR das Hauptideal cR ist. c ist dann einerseits eine gemeinsamer Teiler von a und b, und andererseits eine Linearkombination von a und b. In Hauptidealringen gilt daher gewissermaßen definitionsgemäß das Lemma von Bézout, wenn man das Element c als den $\operatorname{ggT}$ von a und b ansieht.

Folgerungen

Das Lemma von Bézout ist für die Mathematik und besonders für die Zahlentheorie von elementarer Bedeutung. So lässt sich damit z.B das Lemma von Euklid ableiten, welches die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung zur Folge hat.

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 43