Division mit Rest

Die Division mit Rest oder der Divisionsalgorithmus ist ein mathematischer Satz aus der Algebra und der Zahlentheorie. Er besagt, dass es zu zwei Zahlen n und $m \ne 0$ eindeutig bestimmte Zahlen a und b gibt für die

$n = a \cdot m + b\,,\quad 0\le b < m$

gilt. Die Zahlen a und b lassen sich durch die schriftliche Division ermitteln.

Die Division mit Rest ist auch für Polynome definiert. Die allgemeinste mathematische Struktur, in der es eine Division mit Rest gibt, ist der euklidische Ring.

Natürliche Zahlen

Wenn zwei natürliche Zahlen, der Dividend a und der Divisor b (ungleich 0), mit Rest dividiert werden sollen, also wenn

$a : b\,$

berechnet werden soll, so wird gefragt, wie man die Zahl a als Vielfaches von b und einem „kleinen Rest“ darstellen kann:

$a = b \cdot c + r$

Hier ist c der so genannte Ganzzahlquotient und r der Rest. Entscheidende Nebenbedingung ist, dass r eine Zahl in $\{0, \dots, b-1\}$ ist. Hierdurch wird r eindeutig bestimmt.

Der Rest ist also die Differenz zwischen dem Dividenden und der größten Zahl, die höchstens so groß wie der Dividend und durch den Divisor teilbar ist, für die die Division also keinen Rest ergibt. Ein Rest ungleich 0 ergibt sich folglich nur, wenn zwei Zahlen nicht Vielfache voneinander sind. Man sagt auch: Der Dividend ist nicht durch den Divisor teilbar, weshalb ein Rest übrigbleibt.

Liegt der Divisor fest, so spricht man beispielsweise auch vom Neunerrest einer Zahl, also dem Rest, der sich bei Division dieser Zahl durch neun ergibt.

Beispiel

• 7:3 = 2, Rest 1, da 7 = 3×2 + 1 („drei passt zweimal in 7 und es bleibt eins übrig“ – der Rest ist also eins)
• 2:3 = 0, Rest 2, da 2 = 3×0 + 2
• 3:3 = 1, Rest 0, da 3 = 3×1 + 0

Bestimmung des Restes für spezielle Teiler

Häufig kann man den Rest an der Dezimaldarstellung ablesen:

• bei Division durch 2: der Rest ist 1, wenn die letzte Ziffer ungerade ist, und 0, wenn die letzte Ziffer gerade ist
• bei Division durch 3: der Rest ist gleich dem Rest, den die iterierte Quersumme bei Division durch 3 lässt
• bei Division durch 5: der Rest ist gleich dem Rest, den die letzte Ziffer bei Division durch 5 lässt
• bei Division durch 9: der Rest ist die iterierte Quersumme oder 0, falls diese 9 ist
• bei Division durch 10: der Rest ist die letzte Ziffer

Ähnliche, wenn auch etwas kompliziertere Regeln, existieren für etliche weitere Teiler.

Ganze Zahlen

Ist b eine negative ganze Zahl, dann gibt es keine Zahlen zwischen 0 und b-1. Stattdessen fordert man, dass der Rest zwischen 0 und |b|-1 (dem Betrag von b minus 1) liegt. Alternativ kann man aber auch verlangen, dass der Rest in diesem Fall zwischen b+1 und 0 liegt, also dasselbe Vorzeichen hat wie b. Eine dritte Möglichkeit ist, den betragskleinsten Rest zu wählen. Diese Variante liefert für a = b · c + r die beste Näherung b · c für a.

Beispiel

Dividiert man negative Zahlen, ergibt sich entsprechend der Alltagserfahrung folgendes Bild:

 7 :   3 =  2 Rest  1
−7 :   3 = −2 Rest −1

übertragen auf negative Teiler – obwohl wenig anschaulich – folgt:

 7 :  −3 = −2 Rest  1
−7 :  −3 =  2 Rest −1

(hierbei wird für die Wahl von Quotient und Rest zunächst so getan, als gäbe es keine Vorzeichen, sie werden sozusagen nach der „eigentlichen Berechnung wieder hinzugefügt“). Als Quotient wird hier immer ein Wert bestimmt, dessen Betrag kleiner oder gleich dem Betrag des Quotienten im Bereich der rationalen Zahlen ist. Der Rest und sein Vorzeichen folgen aus der Wahl des Quotienten.

Wie groß der Rest bei einer Division nun ausfällt sei Geschmackssache, könnte man meinen, denn es steht jedem frei, nur einen Teil einer gegebenen Größe zu teilen, den verbleibenden Rest erklärt er einfach zum „Rest“. Lassen wir hierbei auch zu, dass „Schulden“ gemacht werden dürfen, sind beispielsweise alle folgenden Ergebnisse zulässig:

 7 :  3 =  1 Rest  4
 7 :  3 =  2 Rest  1
 7 :  3 =  3 Rest −2

oder

−7 :  3 = −1 Rest −4
−7 :  3 = −2 Rest −1
−7 :  3 = −3 Rest  2

Zur Normierung wird in der Mathematik die Konvention verwendet, die Vorzeichen der Reste aus denen der Teiler zu beziehen, wie in den folgenden Beispielen dargestellt:

 7 :   3 =  2 Rest  1
−7 :   3 = −3 Rest  2
 7 :  −3 = −3 Rest −2
−7 :  −3 =  2 Rest −1

hierbei kann die Zugehörigkeit einer Zahl zu einer Restklasse direkt am Rest abgelesen werden.

Implementierung in Computersystemen

Man beachte, dass DIV- und MOD-Befehle (für ganzzahlige Division und Restbildung) in den meisten Programmiersprachen (und sogar in Intels 80x86-Prozessoren) genau diesem Alltagsansatz entsprechend implementiert sind.

Einige Programmiersprachen und Computeralgebrasysteme tragen dieser Vielfalt von Konventionen Rechnung, indem sie zwei Modulo- oder Rest-Operatoren zur Verfügung stellen. Im Beispiel Ada hat:

• (A rem B) dasselbe Vorzeichen wie A und einen Absolutwert kleiner als der Absolutwert von B
• (A mod B) dasselbe Vorzeichen wie B und einen Absolutwert kleiner als der Absolutwert von B

Modulo

Modulo berechnet den Rest b der Division n/m. Man kann eine Funktion definieren, welche jedem Zahlenpaar { n ; m } eindeutig den Teilerrest b zuordnet. Diese nennt man „Modulo“ [ˈmoːduloː] (lat. Modulus, Kasus Ablativ: „durch Maß“ oder auch „mit Maß“, somit Mehrzahl Moduli) und wird meistens mit mod abgekürzt. In vielen Programmiersprachen wird sie durch % dargestellt und als Operator behandelt.

Sei die Funktion

$\begin{matrix} \Z \times \Z & \rightarrow & \Z\\ (a,m) & \mapsto & a\;\bmod\;m \end{matrix}$

mit $a,m\in \Z$ wie folgt definiert:

$(a\;\bmod\;m):= a - \left \lfloor \frac{a}{m} \right \rfloor \cdot m$

Die Gaußklammer $\lfloor \cdot \rfloor$ bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich der Zahl in der Gaußklammer ist, also ohne den Rest der Division $a\,/\,m$. Hier gilt stets

$(a + km)\;\bmod\;m = a\;\bmod\;m\quad(k\in\mathbb Z),$

aber im Allgemeinen ist

$(-a)\;\bmod\;m \ne-(a\;\bmod\;m),$ z. B. $(-2)\;\bmod\;3=1\ne-2=-(2\;\bmod\;3)$.

Ist m positiv, so ist $a\;\bmod\;m\geq0$ für alle a.

Neben dieser sogenannten „Mathematischen Variante“ wird oft auch eine ähnliche Funktion als Modulo bezeichnet, welche für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefert und „symmetrische Variante“ genannt wird:

$(a\;\bmod\;m) := a - m\cdot (a\,\operatorname{div}\,m);$

dabei bezeichnet $a\,\operatorname{div}\,m$ den zur Null hin gerundeten Quotienten $a\,/\,m$, gegeben durch $a\,\operatorname{div}\,m = \sgn(a)\sgn(m) \left \lfloor \frac{|a|}{|m|} \right \rfloor$, wobei sgn(x) die Signumfunktion bezeichnet. Für diese Variante gilt

$(-a)\;\bmod\;m = -(a\;\bmod\;m)$,

aber im Allgemeinen

$(a + km)\;\bmod\;m\ne a\;\bmod\;m$, z. B. $(1 - 3)\;\bmod 3=(-2)\;\bmod\;3=-2\ne 1=1\;\bmod\;3$.

$a\;\bmod\;m$ hat stets dasselbe Vorzeichen wie a, oder es gilt $a\;\bmod\;m = 0$.

Gilt $a\geq 0$ und m > 0, so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis. In Programmiersprachen ist die implementierte Variante nicht einheitlich. So verwenden Ruby, Python und Perl die mathematische Variante, wo hingegen Java, C, JavaScript und PHP die symmetrische einsetzen, was besonders wichtig bei Portierungen ist.

Beispiele

• 17 mod 3 = 2, da $17 = 5 \cdot 3 + 2$ („drei passt fünf mal in 17 und es bleiben zwei übrig“ – der Rest ist also zwei)
• 2 mod 3 = 2, da $2 = 0 \cdot 3 + 2$
• 3 mod 3 = 0, da $3 = 1 \cdot 3 + 0$

Wenn $(a\;\bmod\;m) = (b\;\bmod\;m)$, dann folgt nicht daraus, dass a = b ist, sondern nur, dass sich a und b um ein ganzzahliges Vielfaches von m unterscheiden, also: $a = b + (k \cdot m)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden:

$a\equiv b\mod m$ oder auch $a \equiv_{m} b$

Grundrechenarten modulo einer natürlichen Zahl

Ist die Zahl m eine Primzahl, so kann man die aus den Reellen Zahlen gewohnten Grundrechenarten mit anschließender modulo Berechnung anwenden und erhält einen sogenannten Endlichen Körper.

Beispiele

• $(2\;\bmod\;3) + (2\;\bmod\;3) = 4\;\bmod\;3= 1\;\bmod\;3$
• $(3\;\bmod\;5) \cdot (3\;\bmod\;5) = 9\;\bmod\;5 = 4\;\bmod\;5$

Verallgemeinerung: Reelle Zahlen

Sind a und b reelle Zahlen, b ungleich 0, dann kann man eine Division mit Rest folgendermaßen definieren: Der ganzzahlige Quotient c und Rest r im halboffenen Intervall [0, |b|) sind diejenigen (eindeutig bestimmten) Zahlen, die die Gleichung a = b · c + r erfüllen.

Auch hier gibt es die Alternativen, dem Rest dasselbe Vorzeichen wie b zu geben oder den betragskleinsten Rest zu wählen. Letztere Alternative entspricht der Rundung: Die Division mit Rest von a durch 1 liefert eine ganze Zahl c und eine reelle Zahl r mit Betrag ≤ 0,5, die die Gleichung a = c + r erfüllen. Die Zahl c ist der auf ganze Zahlen gerundete Wert von a.

Es ist zu beachten, dass hierbei der Quotient nicht aus derselben Menge (der reellen Zahlen) genommen wird wie Divisor und Dividend.

Polynome

Bei der Division mit Rest für Polynome muss das als Divisor auftretende Polynom f(X) aus dem Polynomring R[X] eine Voraussetzung erfüllen: Der Leitkoeffizient von f(X) muss eine Einheit von R sein (insb. ist f(X) nicht das Nullpolynom). Unter dieser Bedingung gibt es zu jedem $g(X) \in R[X]$ eindeutig bestimmte Polynome $q(X), r(X) \in R[X]$ mit

$g(X) = q(X) f(X) + r(X) \quad \text{und} \quad \operatorname{grad}(r) < \operatorname{grad}(f)$

Ein Beispiel ist das folgende Polynom.

2x² + 4x + 5 = (2x + 2)(x + 1) + 3

Die Polynome q(X) und r(X) lassen sich durch Polynomdivision bestimmen.

Anwendung

Programmierung

Die Division mit Rest (Modulo) wird in der Programmierung relativ häufig verwendet. Die Syntax ist dabei die eines Operators. Mit mod kann geprüft werden, ob eine Zahl gerade ist: if ( (x mod 2) == 0), dann ist x gerade. Modulo kann man immer benutzen, wenn man alle X Schleifendurchläufe einen speziellen Programmcode ausführen will. Auch bei vielen Berechnungen und Algorithmen ist er sinnvoll einsetzbar. Allgemein kann man mit mod prüfen, ob eine Zahl durch eine andere genau teilbar ist, dann ist der Modulo nämlich Null. Andersrum muss man in der Programmierung oft auf ganze Vielfache von einer Zahl ergänzen (z. B. 4 Bytes) und bekommt durch den Modulo heraus, wie viele „Pad-Bytes“ noch fehlen.

Beispiel

Man programmiert eine Uhr und hat die Zeit als Sekundenwert seit 0 Uhr gegeben. Dann kann man den Sekundenwert Mod 3600 berechnen. Ist dieser gleich 0, so weiß man, dass eine volle Stunde angefangen hat. Diese Information kann man nutzen, um z. B. ein akustisches Signal (Gong zur vollen Stunde) auszulösen. Mit der Berechnung Sekundenwert Mod 60 erhält man die Sekunde in der aktuellen Minute, die oftmals von Digitaluhren als letzte zwei Stellen anzeigt werden.

Weitere Anwendungen

• Berechnung der Prüfziffer der Internationalen Standardbuchnummer
• Prüfsummen-Formel Luhn-Algorithmus zur Bestätigung von Identifikationsnummern wie Kreditkartennummern und kanadische Sozialversicherungsnummern
• Kalenderberechnung (die relativ komplizierte Berechnung des Osterdatums)
• Bei der International Bank Account Number (IBAN)
• In der Kryptografie, beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch

Siehe auch

• Kongruenz (Zahlentheorie)
• Hash-Funktion und die dort genannten Verfahren
• Kleiner fermatscher Satz
• Satz von Euler
• Dualsystem
• Galoiskörper

Literatur

• K. Reiss, G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie – Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-21248-5.
• Peter Hartmann: Mathematik für Informatiker, Vieweg+Teubner Verlag, 2006, ISBN 9783834800961, (online) Seite 62
• Albrecht Beutelspacher, Marc-Alexander Zschiegner: Diskrete Mathematik für Einsteiger, Vieweg+Teubner Verlag, 2007, ISBN 9783834800947, (online) Seite 65

Weblinks

• Modulo online berechnen
• Java ist auch eine Insel: Modulo in Java
• Ganzzahlige Division und der Rest
• ETH Zürich:Ganzzahlige Division und Modulo-Funktion (PDF-Datei; 83 kB)
• Dirk Louis: C/C++ Kompendium, Pearson Education, 2007, ISBN 9783827243652 (online) Seite 214
• Division mit Rest - der heimliche Hauptsatz der Algebra (PDF-Datei; 86 kB)