Lemma von Sard

Der Satz von Sard, auch als Lemma von Sard oder Satz von Morse–Sard bekannt, ist eine Grundlage der Differentialtopologie, und dort der Morse-Theorie, sowie der Transversalitätstheorie bis hin zur Klassifizierung der Keime differenzierbaren Abbildungen in der Singularitätstheorie bzw. der thomschen Katastrophentheorie.

Dieser Satz macht eine Aussage über das Maß der Menge der kritischen Werte einer differenzierbaren Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Dabei nennt man einen Wert genau dann kritisch, wenn er Bild eines kritischen Punktes ist.

Der Satz von Sard besagt, dass die kritischen Werte einer Abbildung $f: M\to N$ zwischen zwei Mannigfaltigkeiten das Lebesgue-Maß null haben, falls die Abbildung aus C^r(M,N) ist, also r-mal stetig differenzierbar ist für ein r > max(0,dim(M) − dim(N)).

Spezialfälle davon sind:

• Ist $f: \R \to \R$ eine differenzierbare Funktion, so hat die Menge $\{f(x)\mid f'(x)=0\}$ der kritischen Werte Maß 0.
• Eine Untermannigfaltigkeit kleinerer Dimension hat stets Maß 0, beispielsweise der Graph einer differenzierbaren Funktion $\R \to \R$ als Teilmenge von $\R^2$.
• Eine differenzierbare Abbildung $f: M \to N$ zwischen zwei Mannigfaltigkeiten kann für $\dim(M) < \dim(N)$ nicht surjektiv sein.

Für Abbildungen vom $\R^m$ in den $\R^n$ wurde der Satz 1942 von Sard bewiesen, wodurch er den drei Jahre früher von Morse gezeigten Spezialfall n = 1 verallgemeinern konnte.

Literatur

• M. Golubitsky, V. Guillemin: Stable Mappings and Their Singularities. Springer-Verlag, New York 1973.
• V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology. Prentice Hall, 1974.
• M. W. Hirsch: Differential Topology. Springer-Verlag, New York 1976.
• M. Demazure: Catastrophes et Bifurcations. Französisch, Ellipses, Paris 1989, ISBN 2729889469. Englisch: Universitext, Springer-Verlag, 1998, ISBN 3540521186.