Lemma von Schwarz

Lemma von Schwarz

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen der Einheitskreisscheibe, welche einen Fixpunkt aufweisen.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Es bezeichne \mathbb{D} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z| < 1 \right\} die Einheitskreisscheibe. Sei f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} eine holomorphe Funktion mit f(0) = 0. Dann gilt |f(z)| \leq |z| \; \forall \, z \in \mathbb{D} und |f'(0)|\leq 1. Falls in einem Punkt z_0 \in \mathbb{D}, z_0 \neq 0 die Gleichheit | f(z0) | = | z0 | besteht oder | f'(0) | = 1 gilt, so ist f(z) = e^{i \lambda} \cdot z für ein passendes \lambda \in \mathbb{R}.

Beweisidee

Man definiert die Funktion g(z): = f(z) / z. Wegen f(0) = 0 lässt sich g im Nullpunkt holomorph fortsetzen mit Wert g(0) = f'(0). Die Aussagen des Lemmas folgen dann durch Anwendung des Maximumprinzips auf g.

Anwendungen

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene \mathbb{H} bestimmen und erhält \mathrm{Aut}(\mathbb{H}) \cong PSL(2, \mathbb{R}).

Verschärfung

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} mit f(0) = 0 in der Potenzreihenentwicklung f(z) = \sum_{j=1}^\infty a_j z^j die Bedingung |a_1| \leq 1 gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch |a_2| \leq 2 gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass |a_j| \leq j \; \forall j \in \mathbb{N}\; . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6

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