- Lemma von Schwarz
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Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen der Einheitskreisscheibe, welche einen Fixpunkt aufweisen.
Inhaltsverzeichnis
Aussage
Es bezeichne die Einheitskreisscheibe. Sei eine holomorphe Funktion mit f(0) = 0. Dann gilt und . Falls in einem Punkt die Gleichheit | f(z0) | = | z0 | besteht oder | f'(0) | = 1 gilt, so ist für ein passendes .
Beweisidee
Man definiert die Funktion g(z): = f(z) / z. Wegen f(0) = 0 lässt sich g im Nullpunkt holomorph fortsetzen mit Wert g(0) = f'(0). Die Aussagen des Lemmas folgen dann durch Anwendung des Maximumprinzips auf g.
Anwendungen
- Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: .
- Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene bestimmen und erhält .
- Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
- Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen gilt für alle .
Verschärfung
Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion mit f(0) = 0 in der Potenzreihenentwicklung die Bedingung gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.
Literatur
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6
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