Lemma von Schwarz

Lemma von Schwarz

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen der Einheitskreisscheibe, welche einen Fixpunkt aufweisen.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Es bezeichne \mathbb{D} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z| < 1 \right\} die Einheitskreisscheibe. Sei f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} eine holomorphe Funktion mit f(0) = 0. Dann gilt |f(z)| \leq |z| \; \forall \, z \in \mathbb{D} und |f'(0)|\leq 1. Falls in einem Punkt z_0 \in \mathbb{D}, z_0 \neq 0 die Gleichheit | f(z0) | = | z0 | besteht oder | f'(0) | = 1 gilt, so ist f(z) = e^{i \lambda} \cdot z für ein passendes \lambda \in \mathbb{R}.

Beweisidee

Man definiert die Funktion g(z): = f(z) / z. Wegen f(0) = 0 lässt sich g im Nullpunkt holomorph fortsetzen mit Wert g(0) = f'(0). Die Aussagen des Lemmas folgen dann durch Anwendung des Maximumprinzips auf g.

Anwendungen

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene \mathbb{H} bestimmen und erhält \mathrm{Aut}(\mathbb{H}) \cong PSL(2, \mathbb{R}).

Verschärfung

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} mit f(0) = 0 in der Potenzreihenentwicklung f(z) = \sum_{j=1}^\infty a_j z^j die Bedingung |a_1| \leq 1 gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch |a_2| \leq 2 gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass |a_j| \leq j \; \forall j \in \mathbb{N}\; . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Lemma von Schwarz-Pick — Das Lemma von Schwarz Pick (nach Hermann Schwarz und Georg Alexander Pick) ist eine Aussage aus der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen des Einheitkreises, die das Schwarzsche Lemma verallgemeinert. Im Rahmen der hyperbolischen… …   Deutsch Wikipedia

  • Schwarz (Begriffsklärung) — Das Wort Schwarz (von althochdeutsch swartz „schmutzfarbig“; urspr.: im Dunklen liegend) bezeichnet die Farbe Schwarz Schwarz (Familienname), siehe dort Etymologie, Varianten, Namensträger Schwarz (Roman), ein Roman Stephen Kings Schwarz (Album) …   Deutsch Wikipedia

  • Herrmann Amandus Schwarz — Hermann Amandus Schwarz (* 25. Januar 1843 in Hermsdorf, Schlesien; † 30. November 1921 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker. Mit seiner Ehefrau Marie, geb. Kummer (1842 1921), einer Tochter des Mathematikers Ernst Eduard Kummer und der… …   Deutsch Wikipedia

  • Hermann Amandus Schwarz — Karl Hermann Amandus Schwarz …   Deutsch Wikipedia

  • Schwarzsches Lemma — Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen der Einheitskreisscheibe, welche einen Fixpunkt aufweisen. Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweisidee 3 Anwendungen …   Deutsch Wikipedia

  • Hans Jakob Christoffel von Grimmelshausen — (* um 1622 in Gelnhausen; † 17. August 1676 in Renchen) war ein deutscher Schriftsteller. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Bloch — Der Satz von Bloch ist eine Aussage der Funktionentheorie, die 1925 von dem französischen Mathematiker André Bloch bewiesen wurde. Der Satz gibt eine Grenze für die Komplexität des Bildgebiets holomorpher Funktionen an. Inhaltsverzeichnis 1… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste mathematischer Sätze — Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Satz von Abel Ruffini: eine allgemeine Polynomgleichung vom …   Deutsch Wikipedia

  • Georg Alexander Pick — (* 10. August 1859 in Wien; † 26. Juli 1942 im KZ Theresienstadt) war ein österreichischer Mathematiker. Georg Alexander Pick promovierte 1880 bei Leo Königsberger an der Universität Wien mit einer Arbeit Über eine Klasse Abelscher Integrale und… …   Deutsch Wikipedia

  • Georg Pick (Mathematiker) — Georg Pick (das Photo stammt aus dem Album, welches Karl Weierstraß 1885 zu seinem 70. Geburtstag überreicht worden ist)[1] Georg Alexander Pick (* 10. August 1859 in Wien; † 26. Juli 1942 im KZ Theresienstadt) war ein österreich …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”