Lineare Disjunktheit

In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper M und N einer Körpererweiterung L / K linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von M, die über K linear unabhängig ist, auch über N linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

$M\otimes_KN\to L$

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von M und N ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper K, d. h.

$M\cap N=K.$

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen M / K und N / K endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe

• Eine Körpererweiterung L / K ist genau dann regulär, wenn L linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss $\bar K$ von K ist.
• Eine Erweiterung L eines Körpers K der Charakteristik p > 0 ist genau dann separabel, wenn L linear disjunkt zu

$K^{p^{-\infty}}=\{x\in\bar K\mid\exists n\colon x^{p^n}\in K\}$

ist.

Literatur

• Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X: Abschnitt VIII, §3
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6: Abschnitt 26