- Liouvillesche Zahlen
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Als Liouvillesche Zahl bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl x, welche die Bedingung erfüllt, dass für alle positiven ganzen Zahlen n ganze Zahlen p und q(q > 1) existieren, so dass
Alle Liouvillsche Zahlen sind irrational: Angenommen, es wäre anders, dann gäbe es ganze Zahlen c und d mit
. Sei n eine positive ganze Zahl, sodass 2n − 1 > d. Wenn dann p und q ganze Zahlen sind, sodass q > 1 und
so ist
ein Widerspruch.
1844 zeigte Joseph Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch immer transzendent. Damit gab er erstmals eine transzendente Zahl an, die Liouvillesche Konstante:
Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, allerdings sind nicht alle transzendenten Zahlen liouvillesch.
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