Mathematische Zeichen

Die Notation in der mathematischen Symbolschrift erfolgt in der Mathematik (z. B. in Formeln oder Gleichungen) unter der Verwendung von Symbolen. Beispielsweise wird die Addition von zwei Zahlen durch das Zeichen '+' dargestellt. Mehr über die Geschichte der mathematischen Symbolsprache ist im Artikel Mathematische Notation zu finden.

Anmerkungen zum Artikel:

Die folgenden Tabellen stellen eine Orientierungshilfe dar, weiterführende Informationen zu den einzelnen Symbolen findet man in dem jeweils verlinkten Artikel. Die verschiedenen Bezeichnungen sind nach Teilgebieten der Mathematik unterteilt.

Außer den Links zu den Fußnoten ^{[1], [2], [3], …} sind noch folgende Navigationshilfen verwendet worden:

• ^[➚] – Link zur Erklärung einer Bezeichnung

Algebra

Lineare Algebra

Matrizen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$(a_{ij})_{{i=1,...,m} \atop {j=1,...,n}}$	$m\times n$-Matrix	Matrix (Mathematik)
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$
1n	$n\times n$-Einheitsmatrix	Einheitsmatrix
En
In
diag(d1,d2,...,dn)	Diagonalmatrix	Diagonalmatrix

Matrizenoperationen und -funktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
${\color{white}.}^{\operatorname{t}}\!A$	zu A transponierte Matrix	Matrix (Mathematik)
AT
$\overline{A}$	zu A konjugierte Matrix	Matrix (Mathematik)
$A^\dagger$	zu A adjungierte Matrix	Adjungierte Matrix
det(A)	Determinante der Matrix A	Determinante (Mathematik)
| A |
adj(A)	Adjunkte zu A, zu A komplementäre Matrix	Adjunkte
$\overline{|A|}$	Obere Grenze der quadratischen Matrix A nach Wielandt	Grenze einer quadratischen Matrix
$\underline{|A|}$	Untere Grenze der quadratischen Matrix A
$A \otimes B$	Kronecker-Produkt der Matrizen A und B	Kronecker-Produkt
Sp(A)	Spur der Matrix A	Spur (Mathematik)
tr(A)
χA(λ)	charakteristisches Polynom der Matrix A	Charakteristisches Polynom
rang(A)	Rang der Matrix A	Rang (Mathematik)
rg(A)
rk(A)

Normen von Matrizen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$S_{h,h_1}(M)$	Schrankennorm der Matrix M bezüglich der Vektornormen h und h1
| M | p	Höldersche Matrizennorm der Matrix M

Moduln und Vektorräume

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$V^{\ast}$	zu dem Vektorraum V duale Vektorraum	Dualraum
$W^\perp$	der zu dem Untervektorraum W totalsenkrechte Untervektorraum
${R_d}^{(S)}$	der R-Rechtsmodul der formalen Summen (Linearkombinationen) der nichtleere Menge S über dem Ring R	Linearkombination
$\sum_{i\in I}M_i$ [1]	Summe (äußere direkte Summe) der Moduln (Mi)i	Direkte Summe
$\underset{i\in I}{\oplus}M_i$ [1]	direkte Summe (innere direkte Summe) der Moduln (Mi)i
rg M [1]	Rang des Moduls M
lA(M) [1]	Länge des A-Moduls M
Msat [1]	Saturierung des Moduls M

Körper- und Ringtheorie

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\varepsilon$	Einheit in einem Ring	Einheit
$\operatorname{char}(K)$	die Charakteristik des Körpers K	Charakteristik
$\operatorname{char}\ K$[1]
$\mathbb{F}_q$	Galoiskörper von q Elementen	Endlicher Körper
$\operatorname{GF}(q)$ oder $\operatorname{GF}_q$
$L/K\,$	Körpererweiterung (L ist der Oberkörper)	Körpererweiterung
$L|K\,$
$L:K\,$
$[L:K]\,$	der Grad der Erweiterung L:K	Erweiterungsgrad
$[L:K]_{\operatorname{s}}\,$[1]	Separabilitätsgrad der Erweiterung L:K	Separabilität
$[L:K]_{\operatorname{i}}\,$	Inseparabilitätsgrad der Erweiterung L:K
$\overline{K}\,$[1]	der algebraische Abschluss des Körpers K	Algebraischer Abschluss
$\mathbb{K}(x_1,...,x_n)$[2]	Körper der rationalen Funktionen mit n Variablen	Rationale Funktion
$R\{x_1,...,x_n\}\,$	Potenzreihenring über den Ring R[3]	Formale Potenzreihe
$R[[x_1,...,x_n]]\,$
$K(\xi_1,...,\xi_n)\,$	Der kleinste Oberkörper von K, der alle ξ1 bis ξn enthält	Einfache Erweiterung
$K\langle\xi_1,...,\xi_n\rangle\,$	$\overline{K(\xi_1,...,\xi_n)}$[4]	Algebraische Erweiterung
	der Quotientenkörper von $K\{\xi_1,...,\xi_n\}\,$[3]
$K[X_1,...,X_n]\,$	Der kleinste Ring, der den Ring von K als Unterring und alle X1 bis Xn enthält.	Polynomring, Polynom (Verallgemeinerung)

Elementare Mathematik

Elementare Funktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$|x|\,$	Betrag von x	Betragsfunktion
$\operatorname{sign}(x)\,$	nimmt den Wert: − 1 an, falls x < 0 0, falls x = 0 und 1, falls x > 0	Signum
$\operatorname{sgn}(x)\,$
$\Theta(x)\,$	nimmt den Wert 1 an, falls x > 0, sonst: 0	Heaviside-Funktion
$\Theta_c(x)\,$	nimmt den Wert c, falls x = 0, sonst: Θ(x)
δi,j	Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
$\mathbf{1}(x)$	Charakteristische Funktion (auch Indikatorfunktion genannt)	Charakteristische Funktion
χ(x)

Intervalle

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
[a,b]	abgeschlossenes (kompaktes) Intervall	Intervall
$\langle a,b \rangle$
]a,b[	offenes Intervall
(a,b)
[a,b[	rechts halboffenes Intervall
[a,b)
$\langle a,b)$
]a,b]	links halboffenes Intervall
(a,b]
$(a,b\rangle$

Trigonometrische Funktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\sin\,z$	Sinus	Sinus und Kosinus
$\cos\,z$	Kosinus
$\sec\,z$	Sekans	Sekans und Kosekans
$\csc\,z$	Kosekans
$\tan\,z$	Tangens	Tangens und Kotangens
$\operatorname{tg}\,z$
$\cot\,z$	Kotangens
$\operatorname{cotg}\,z$

Zyklometrische Funktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\arcsin\,z$	Arkussinus	Arkussinus und Arkuskosinus
$\arccos\,z$	Arkuskosinus
$\arcsec\,z$	Arkussekans	Arkussekans und Arkuskosekans
$\operatorname{arccsc}\,z$	Arkuskosekans
$\arctan\,z$	Arkustangens	Arkustangens und Arkuskotangens
$\operatorname{arctg}\,z$
$\arccot \,z$	Arkuskotangens
$\operatorname{arcctan}\,z$

Komplexe Zahlen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\operatorname{Re}(z)$	Realteil einer Komplexen Zahl z	Komplexe Zahlen – Definition
$\operatorname{Re}[z]$
$\Re z$
$\mathfrak{Re}\, z$
$\mathbf{Re}\, z$
$\operatorname{Im}(z)$	Imaginärteil einer Komplexen Zahl z
$\operatorname{Im}[z]$
$\Im z$
$\mathfrak{Im}\, z$
$\mathbf{Im}\, z$
i	Imaginäre Einheit i mit i2 = − 1	Komplexe Zahlen
j	Imaginäre Einheit j mit j2 = − 1
$\bar z$	Die konjugiert komplexe Zahl zu z	Konjugation (Mathematik)
z *

Geometrie

Elementargeometrie

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\angle ABC$	Winkel mit Schenkeln BA und BC	Winkel
$\angle A$	Winkel mit Scheitelpunkt A
$\triangle ABC$	Dreieck mit Eckpunkten A, B und C	Dreieck
$a\parallel b$	die Geraden a und b sind parallel zueinander	Parallel (Geometrie)
$a\perp b$	die Geraden a und b sind orthogonal zueinander	Orthogonalität

Differentialgeometrie

Vektorrechnung

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$a \times b$	Kreuzprodukt (Vektorprodukt, äußeres Produkt, vektorielles Produkt) der Vektoren a und b	Kreuzprodukt
[a,b]
$a \and b$
$a\cdot b$	Inneres Produkt (Skalarprodukt, Punktprodukt) der Vektoren a und b	Skalarprodukt
(a,b)
ab
$\vec{\nabla}$	Nablavektor	Nabla-Operator
$\operatorname{grad}\,\varphi$	Gradient vom differenzierbaren Skalarfeldes $\varphi$	Gradient (Mathematik)
$\operatorname{rot}\,\mathbf F$	vektorielle Rotation vom dreidimensionalen differenzierbaren Vektorfeld $\mathbf{F}$	Rotation (Mathematik)
$\operatorname{div}\vec{F}$	Divergenz des Vektorfeldes $\vec{F}$	Divergenz (Mathematik)
Δ	elliptischer Differentialoperator	Laplace-Operator
$\Box$	hyperbolischer Differentialoperator	D’Alembert-Operator

Mengenlehre

Mengentheoretische Funktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\mathcal{P}(A)\,$	Potenzmenge (die Menge aller Untermengen) einer Menge A	Potenzmenge
$\mathfrak{P}(A)\,$
$2^A\,$
$\mathrm{Pot}(A)\,$
$\Pi(A)\,$
$|A|\,$	Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge A	Mächtigkeit (Mathematik)
$\overline{\overline{A}}\,$
$\operatorname{card}(A)\,$
$\operatorname{Card}(A)\,$
$\# A\,$

Kardinalzahlen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\aleph_0$	die Mächtigkeit von $\mathbb{N}$ [5]	Kardinalzahl
$\boldsymbol{a}$
$\aleph$[6]	die Mächtigkeit von $\mathbb{R}$
$\boldsymbol{c}$[7]
$\aleph_1$	die kleinste Kardinalzahl größer als $\aleph_0$
$\aleph_n$	die kleinste Kardinalzahl größer als $\aleph_{n-1}$
$\aleph_\omega$	die kleinste Kardinalzahl größer als alle $\aleph_n$

Mengenoperationen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\cup\,$	Vereinigung von zwei Mengen, z. B.: $A\cup B\,$ bzw. $\mathfrak{S}(A, B)\,$ oder von Elementen einer Mengenfamilie, z. B.: $\bigcup\nolimits_{\lambda\in L}A_\lambda\,$ bzw. $\underset{\lambda\in L}{\mathfrak{S}}A_\lambda\,$; manchmal wird auch die Bezeichnung A + B verwendet, allerdings wird dann auch vorausgesetzt, dass A und B disjunkt sind[6]	Vereinigungsmenge
$\mathfrak{S}\,$[6]
$\cap\,$	Durchschnitt von Mengen z. B.: $A\cap B\,$[8] bzw. $\mathfrak{D}(A, B)\,$ oder: $\bigcap\nolimits_{\lambda\in L}A_\lambda\,$ bzw. $\underset{\lambda\in L}{\mathfrak{D}}A_\lambda\,$	Schnittmenge
$\mathfrak{D}\,$[6]
$\backslash \,$	Differenz z. B.: $A\backslash B$. Manchmal wird auch die Bezeichnung A − B verwendet, allerdings wird dann oft vorausgesetzt, dass $B\subseteq A$	Differenz und Komplement
$\triangle \,$	symmetrische Differenz z. B.: $A\triangle B$
$\times \,$	kartesisches Produkt z. B.: $A\times B$ für das kartesische Produkt von zwei Mengen und ${}^\times\!\!\prod_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda$ oder $\underset{\lambda\in L}{\times}A_{\lambda}$ für das kartesische Produkt einer Mengenfamilie	Kartesisches Produkt
$\dot{\cup} \,$	disjunkte Vereinigung	Disjunkte Vereinigung
$\coprod$	$\coprod_{\lambda\in L}A_\lambda=\{(\lambda,a)\mid \lambda\in L,a\in A_\lambda\}$

Mengenrelationen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$A \subset B$	A ist echte Teilmenge von B	Teilmenge
$A \varsubsetneq B$
$A \subseteq B$	A ist Teilmenge von B
$A \not\subset B$	A ist keine Teilmenge von B
$A \in B$	A ist Element von B	Menge (Mathematik)
$A \notin B$	A ist kein Element von B
$A\ {\underset{\leq}{\textrm{cf}}}\ B$	die gerichtete oder halbgeordnete Menge (Klasse) (A,$\!^\leq$) ist mit ihrer Teilmenge (Teilklasse) B konfinal
$A\ {\underset{\leq}{\textrm{ci}}}\ B$	die gerichtete oder halbgeordnete Menge (Klasse) (A,$\!^\leq$) ist mit ihrer Teilmenge (Teilklasse) B koinitial

Ordinalzahlen und Ordnungstypen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\omega\,$	der Ordnungstyp (die Ordinalzahl) von $\mathbb{N}$,[5]	Ordinalzahl
$\Omega_{\alpha}\,$	die kleinste Ordinalzahl, die den Ordnungstyp einer Menge mit Mächtigkeit $\aleph_\alpha$ darstellt[5]
$\Omega\,$	die kleinste Ordinalzahl, die den Ordnungstyp einer Menge mit Mächtigkeit $\aleph_1$ darstellt[5]
$\pi\,$	der Ordnungstyp von $\mathbb{Z}$,[5]
$\eta\,$	der Ordnungstyp von $\mathbb{Q}$,[5]
$\lambda\,$	der Ordnungstyp von $\mathbb{R}$,[5]
$\varepsilon\,$	die kleinste Ordinalzahl größer als alle $\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}$[5]

Spezielle Funktionen

Fehlerfunktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
erf(z)	Fehlerfunktion von z	Fehlerfunktion
erfc(z)	komplementäre Fehlerfunktion von z
erfi(z)	imaginäre Fehlerfunktion von z

Zahlentheorie

Zahlenmengen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\mathbb{N}$	die Menge der natürlichen Zahlen	Natürliche Zahl
$\mathbb{N}_0$	die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null
$\mathbb{N}^+$	die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null
$\mathbb{N}^*$
$\mathbb{N}_{>0}$
$\mathbb{N}_{1}$
$\mathbb{Z}$	die Menge der ganzen Zahlen	Ganze Zahl
$\mathbb{Z_{+}}$	die Menge der positiven ganzen Zahlen
$\mathbb{Z}^{+}_{0}$	die Menge der positiven ganzen Zahlen und der Null
$\mathbb{Q}$	die Menge der rationalen Zahlen	Rationale Zahl
[7]
$\mathbb{Q_+}$	die Menge der positiven rationalen Zahlen (manchmal wird mit $\mathbb{Q_+}$ die Menge der nicht negativen und mit $\mathbb{Q_+^\times}$ die Menge der positiven rationalen Zahlen bezeichnet[9])
$\mathbb{Q_+^\times}$
$\mathbb{Q}_{>0}$[1]
$\mathbb{Q}^{+}_{0}$	die Menge der positiven rationalen Zahlen und der Null
$\mathbb{R}$	die Menge der reellen Zahlen	Reelle Zahl
[7]
$\mathbb{R_+}$	die Menge der positiven reellen Zahlen (oder $\mathbb{R_+}$ die Menge der nicht negativen und $\mathbb{R_+^\times}$ die Menge der positiven reellen Zahlen[9])
$\mathbb{R_+^\times}$
$\mathbb{R}_{>0}$[1]
$\mathbb{R}^{+}_{0}$	die Menge der positiven reellen Zahlen und der Null
$\overline{\R}$	die Menge der erweiterten reellen Zahlen	Reelle Zahl
$\mathbb{C}$	die Menge der komplexen Zahlen	Komplexe Zahl
$\mathbb{H}$	die Menge der Quaternionen	Hyperkomplexe Zahl
$\mathbb{O}$	die Menge der Oktonionen
$\mathbb{S}$	die Menge der Sedenionen

Teilbarkeit

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$a|b\,$	a teilt b	Teilbarkeit
$a\nmid b\,$	a teilt b nicht
$a\parallel b\,$	a ist eigentlicher (nichttrivialer) Teiler von b (a ist also ungleich 1, − 1, − b oder b)[3]
$a\nparallel b\,$	a ist kein eigentlicher Teiler von b
$p^m\parallel b\,$	$p^m|b\,$ und $p^{m+1}\nmid b$[10]
$a\perp b\,$	a und b sind teilerfremd	Teilerfremdheit
$a\not\perp b\,$	a und b sind nicht teilerfremd

Elementare arithmetische Funktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$(a,b)\,$	größter gemeinsamer Teiler von a und b	Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
$a\sqcap b$[11]
$a \wedge b$
$\operatorname{ggT}(a,b)$
$\operatorname{GGT}(a,b)$
$[a,b]\,\!$	kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b
$a\sqcup b$[11]
$a\vee b$
$\operatorname{kgV}(a,b)$
$\operatorname{KGV}(a,b)$
$\lfloor x \rfloor$	Ganzzahl-Funktion	Gaußklammer
$[ x ]\,$
$n!\,$	Fakultät von n	Fakultät
$!n\,$	Subfakultät von n	Subfakultät
$n\,$¡[12]
$x^{\underline{m}}\,$[12]	Fallende Faktorielle	Fallende Faktorielle, Pochhammer-Symbol
$(x)_m\,$
$x^{\overline{m}}\,$[12]	Steigende Faktorielle	Fallende Faktorielle, Pochhammer-Symbol
$(x)^m\,$
$[a=b]\,$	nimmt den Wert 1, wenn a = b, sonst 0[12]
$[a\bot b]\,$	nimmt den Wert 1, wenn a und b teilerfremd sind, sonst 0[12]

Multiplikative zahlentheoretische Funktionen

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\varphi(n)\,$	Anzahl der primen Restklassen Modulo n	Eulersche φ-Funktion
$\varphi_\alpha(n)\,$	Jordansche Funktion[13],[14]	Jordansche Funktion
$J_\alpha(n)\,$
$\lambda(n)\,$	Liouvillesche Funktion[15]
$\psi(n)\,$	Dedekindsche ψ-Funktion	Dedekindsche Psi-Funktion
$\mu(n)\,$	Möbiusfunktion	Möbiusfunktion
$\tau(n)\,$	Ramanujansche tau-Funktion	S. A. Ramanujan - Ramanujansche Tau-Funktion
	Anzahl der Teiler von n	Teileranzahlfunktion
$d(n)\,$	Anzahl der Teiler von n	Teileranzahlfunktion
$\sigma(n)\,$	Summe der Teiler von n	Teilersumme
$\varepsilon(n)\,$	1 für n = 1 und 0 sonst (Einheitselement in der Gruppe der multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen)	Faltung
$\iota(n)\,$	das inverse Element von μ(n) (1 für alle n)[16]	Dirichletreihe der Möbiusfunktion, Faltung
$I^0(n)\,$
$I_0(n)\,$
$\nu(n)\,$	Identität (n für alle n)
$I(n)\,$

Weitere Funktionen aus der analytischen Zahlentheorie

Symbol	Interpretation	Relevante Artikel
$\Lambda(n)\,$	Mangoldt-Funktion	Dirichletreihe der Λ-Funktion
$\lambda(n)\,$	Carmichael-Funktion	Carmichael-Funktion
$\Omega(n)\,$	die Anzahl der (nicht unbedingt unterschiedlichen) Primfaktoren von n	Primfaktorzerlegung
$\omega(n)\,$	die Anzahl der unterschiedlichen Primfaktoren von n
$\pi(x)\,$	die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich x	Verteilung der Primzahlen, Primzahlsatz
$\pi_{f(X)}(x)\,$	die Anzahl der natürlichen Zahlen n kleiner gleich x, für die | f(n) | eine Primzahl ist
$T_{f}\underline{1}\,$	$T_{f}\underline{1}(x)=\sum\nolimits_{n\leq x,\ n\in\mathbb{N}} f(n)\,$[16]	Atle Selberg, Primzahlsatz
$\psi(x)\,$	$T_{\Lambda}\underline{1}\,$[10],[16],[17],[18]
$\Phi(x)\,$	$T_{\varphi}\underline{1}\,$ ,[17]
$D(x)\,$	$T_{d}\underline{1}\,$ ,[19],[17]
$\theta(x)\,$	$\sum\nolimits_{p\leq x,\ p\in P}\ln p\,$ wobei P die Menge der Primzahlen ist (Tschebyscheffsche Funktion)[14],[17]
$\vartheta(x)\,$
$L(s,\chi)\,$	Dirichletsche L-Reihe	Dirichletsche L-Reihe

Siehe auch

• Formelsatz

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ ^{a b c d e f g h i j} S. Bosch: Algebra. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4.
2. ↑ W. Koepf: Computeralgebra – Eine algorithmisch orientierte Einführung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-29894-6.
3. ↑ ^{a b c} J. Naas, H. L. Schmid: Mathematisches Wörterbuch. B. G. Teubner, Stuttgart 1979, ISBN 3-519-02400-4
4. ↑ C. Chevalley: Introduction to the theory of algebraic functions of one variable. American Mathematical Society, New York 1951.
5. ↑ ^{a b c d e f g h} I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1977, ISBN 3-87144-217-8. (auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk)
6. ↑ ^{a b c d} F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publishing Company, New York 1949 (1914).
7. ↑ ^{a b c} K. Kuratowski: Introduction to Set Theory and Topology. Polish Scientific Publishers, Warszawa 1961.
8. ↑ Etwas ältere Bezeichnung ist AB.
9. ↑ ^{a b} A. Leutbecher: Zahlentheorie. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8.
10. ↑ ^{a b} P. Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5.
11. ↑ ^{a b} H. Siemon: Einführung in die Zahlentheorie. Verlag Dr. Kovac, Hamburg 2002, ISSN 1435-6511.
12. ↑ ^{a b c d e} R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik: Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley, 1994, ISBN 0-201-55802-5.
13. ↑ J. Schulte: Über die Jordansche Verallgemeinerung der Eulerschen Funktion. uni-siegen.de (pdf)
14. ↑ ^{a b} J. Sándor, D. Mitrinovic, B. Crstici: Handbook of Number Theory I. Springer, 2005, ISBN 1402042159.
15. ↑ Liouville function, en.wikipedia.org
16. ↑ ^{a b c} H. Scheid: Zahlentheorie. BI-Wiss.-Verl., 1991, ISBN 3-411-14841-1.
17. ↑ ^{a b c d} K. Chandrasekaran: Introduction to analytic number theory. Springer, 1968.
18. ↑ Auch als Tschebyscheffsche Funktion bekannt.
19. ↑ Divisor summatory function, en.wikipedia.org