Lippmann-Schwinger-Gleichung

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung verwendet man in der quantenmechanischen Störungstheorie und speziell in der Streutheorie.^[1] Sie hat die Form einer Integralgleichung und ist eine Alternative zur direkten Lösung der Schrödingergleichung, wobei die Randbedingungen in der Definition der verwendeten Greenschen Funktionen stecken.

Allgemein wird in der Störungstheorie der Hamiltonoperator H in den „freien Hamiltonoperator“ H₀, zu dem eine Lösung bekannt ist und einen als kleine Störung behandelten Teil („Potential“) V, zerlegt. Eigenfunktionen $|\phi_0 \rangle$ des freien Hamiltonoperators erfüllen die Gleichung

$\left( E - H_0 \right) |\phi_0 \rangle = 0$

wobei E der zugehörige Eigenwert ist.

Als „freie Greensche Funktion“ bezeichnet man einen Operator G₀, für den gilt

$G_0 \left( E - H_0 \right) |\phi_0 \rangle = |\phi_0 \rangle$

Dieser Operator ist also gewissermaßen eine Umkehrfunktion zum freien Hamiltonoperator. Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von G₀ als Distribution.

Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen $|\psi\rangle$ des vollständigen Hamiltonoperators H, sowie dessen Greensche Funktion G definiert. Damit gilt nun die folgende Lippmann-Schwinger-Gleichung

$|\psi \rangle = |\phi _0\rangle + G_0 V |\psi \rangle$

Diese Gleichung wird üblicherweise iterativ gelöst, wobei die Beschränkung auf die erste nichttriviale Ordnung als Bornsche Näherung bezeichnet wird.

Streutheorie

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung findet entsprechend vor allem in der Streutheorie Anwendung. Hierbei wird berechnet wie sich die Wellenfunktion eines Teilchens bei der Streuung an einem Potential V ändert, wobei als freier Hamiltonoperator der kinetische Anteil für ein freies Teilchen verwendet wird.

$H_0 = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}$

Im Folgenden erfolgt eine kurze Herleitung der Gleichung in diesem Kontext (für ein stationäres Streuproblem, elastische Streuung).

Die Energie eines freien Teilchens ist $E_{k} = \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2 m}$, die Einschußrichtung des Teilchens ist dann gegeben durch $\frac{\vec{k}}{k}$ und die Streurichtung des Teilchens ist definiert als $\frac{\vec{k^{\prime}}}{k} = \frac{\vec{r}}{r} = \vec{n}$, wobei $k^{\prime} = k$ und für alle Vektoren $v = |\vec{v}|$. Hierbei ist zu beachten, dass es sich um eine elastische Streuung handelt und der Betrag des Impulsvektors nicht geändert wird.

Zur Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung geht man von der Schrödingergleichung

$\left[ - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{r}) \right] \psi_k = E_k \psi_k$

aus. Umgestellt ergibt sich und mit der Forderung $E\ge 0$

$\left[ \Delta + k^2 \right] \psi_k= \frac{2m}{\hbar^2}V(\vec{r})\psi_k = U(\vec r) \psi_k$

Dies lässt sich mit der Methode der Greenschen Funktionen lösen.

$\begin{align} \left[ \Delta + k^2 \right] \phi_0 = 0 \quad & \Rightarrow \quad \phi_0 = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}}\\ \left[ \Delta + k^2 \right] G(\vec{r}) = \delta{(\vec{r})} \quad & \Rightarrow \quad G(\vec{r}) = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{i\vec k \vec r}}{r}\\ \psi_k(\vec{r}) = \phi_0 & + \int d^3\vec{r^{\prime}} G(\vec{r}-\vec{r^{\prime}}) \cdot U(\vec{r^{\prime}}) \psi_k(\vec{r^{\prime}})\\ \end{align}$

Daraus ergibt sich die Lippmann-Schwinger-Gleichung der Streutheorie.

$\psi_k(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}} - \frac{2m}{4\pi\hbar^2}\int d^3\vec{r^{\prime}} \cdot \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r^{\prime}}|}} {|\vec{r} - \vec{r^{\prime}}|} V(\vec{r^{\prime}}) \psi_k(\vec{r^{\prime}})$

Hier wurde explizit die Ortsdarstellung gewählt.

Diese Gleichung lässt sich iterativ lösen, indem man auf der rechten Seite $\psi_k(\vec r)$ durch die bis dahin gewonnene Lösung einsetzt und als Startwert der Iteration etwa $\psi_k^{(0)}(\vec r) = \phi_0(\vec r)$ wählt.

Die erste Iteration

$\psi_k^{(1)}(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}} - \frac{2m}{4\pi\hbar^2}\int d^3\vec{r^{\prime}} \cdot \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r^{\prime}}|}} {|\vec{r} - \vec{r^{\prime}}|} V(\vec{r^{\prime}}) \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r^{\prime}}}$

ist dann die bereits oben erwähnte "Bornsche Näherung" in Ortsdarstellung.

Einzelnachweise

1. ↑ Bernard Lippmann und Julian Schwinger: Variational principles for scattering processes. I. In: Physical Review. Band 79, 1950, S. 469-480, Gleichung 1.84 auf S. 475.