Lorentz-Modell

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Das Modell des Lorentz-Oszillators wird zur mathematischen Modellierung der (frequenzabhängigen) elektronischen Polarisation eines Festkörpers und damit von dessen dielektrischer Funktion $\varepsilon(\omega)$ verwendet. Die dielektrische Funktion ist von großer Bedeutung, da sie die optischen Eigenschaften eines Stoffes beschreibt.

Mathematische Modellierung

Bewegungsgleichung

Die Dynamik von Elektronen, Ionen als auch von permanenten Dipolen in einem Festkörper kann vereinfacht durch einen gedämpften harmonischen Oszillator beschrieben werden. Die Betrachtungen im Folgenden seien o.B.d.A. auf die Elektronen bezogen; für Ionen und permanente Dipole lassen sich analoge Bewegungsgleichungen aufstellen. Die Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Wechselfeld, z. B. Licht, Radio- oder Mikrowellen, geht dabei als periodische Antriebskraft in die Bewegungsgleichung ein:

$m \frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2} + m \beta \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + m \omega_0^2 x = -eE^0_\mathrm{lokal}e^{-\mathrm i \omega t}$

mit

• m: Masse
• x: Auslenkung des Gitteratoms
• t: Zeit
• β: Dämpfung
• ω: Kreisfrequenz des treibenden Feldes
• ω₀: Eigenfrequenz des ungedämpften harmonischem Oszillators
• − e: Elementarladung
• $E^0_\mathrm{lokal}$: lokale Amplitude des treibenden elektrischen Wechselfeldes

Die stationäre Lösung dieser Bewegungsgleichung lautet

$x(t) = -\frac{e}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm i \beta \omega}E^0_\mathrm{lokal}e^{-\mathrm i \omega t}$;

ihr Graph stellt eine Lorentzkurve dar.

Dielektrische Funktion

Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion in Abhängigkeit von der Frequenz des treibenden Feldes

Verlauf der wellenlängenabhängigen komplexen dielekrischen Funktion im visuellen Bereich für einen Halbleiter (Silicium) mit Bandübergängen in diesem Bereich

Mittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion $\varepsilon(\omega)$ und der elektrischen Suszeptibilität, der wie folgt lautet:

$\varepsilon = 1+N_v \frac{ex(t)}{\varepsilon_0 E^0_\mathrm{lokal}e^{-\mathrm i\omega t}}$ ,

erhält man:

$\varepsilon(\omega) = 1 + \frac{N_v e^2}{\varepsilon_0 m} \frac{1}{\omega_1^2 - \omega^2 - \mathrm i \beta \omega}$

mit

• N_v: Gitteratome pro Volumeneinheit
• i: imaginäre Einheit
• $\omega_1^2 = \omega_0^2-\frac{1}{3} N_v \frac{e^2}{\varepsilon_0 m}$
• $\varepsilon'(\omega)$: Realteil der dielektrischen Funktion
• $\varepsilon''(\omega)$: Imaginärteil der dielektrischen Funktion

Die dielektrischen Funktion lässt sich wie folgt in Real- und Imaginärteil $\varepsilon'$ bzw. $\varepsilon''$ formulieren:

$\varepsilon(\omega) \equiv \varepsilon'(\omega) + \mathrm i \varepsilon''(\omega)$ mit $\varepsilon'(\omega) = 1+ \frac{N_v e^2}{\varepsilon_0 m} \frac{\omega_1^2 - \omega^2}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}$ $\varepsilon''(\omega) = \frac{N_v e^2}{\varepsilon_0 m} \frac{\beta \omega}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}$

Zusammenhang mit der komplexen Brechzahl

Verlauf der wellenlängenabhängigen komplexen Brechzahl im visuellen Bereich für einen Halbleiter (Silicium) mit Bandübergängen in diesem Bereich

Die komplexe Brechzahl $\hat N$ ist von der Permittivitätszahl (dielektrische Funktion) $\varepsilon$ und der Permeabilitätszahl μ abhängig. Beide Größen sind im Allgemeinen komplex und frequenzabhängig.

$\hat{N}=\sqrt{\varepsilon \mu }$

Im Fall von einem nichtmagnetischen, isotropen Material ist $\mu_r \approx 1$ und die komplexe Brechzahl $\hat N = n+\mathrm \mathrm i k$ kann direkt aus Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion berechnet werden:

$\hat{N}=\sqrt{\varepsilon }=\sqrt{{\varepsilon }'+\mathrm{i}{\varepsilon }''}$

für den Real- und Imaginärteil ergibt sich:

$n=\sqrt{ \frac{ \sqrt{\varepsilon'^2 + \varepsilon''^2} + \varepsilon'}{2}}$

$k=\sqrt{\frac{ \sqrt{\varepsilon'^2 + \varepsilon''^2} - \varepsilon'}{2}}$

Hierbei bezeichnet n die (reelle) Brechzahl, die die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Medium gemäß v_medium = c₀ / n festlegt. k steht für den (reellwertigen) Extinktionskoeffizienten.

Eine in das Medium in z-Richtung eindringende Welle ($\vec{k}=|\vec{k}|\,\hat{e}_z$) klingt gemäß exp( − kωz / c₀) exponentiell ab (evaneszente Welle).

Ersetzt man in $\vec{E}=\vec{E}_{0}e^{\mathrm{i}\left[ |\vec k | z-\omega t \right]}$ den den Betrag des Wellenvektors

$|\vec k|=\frac{\omega }{c_{0}}\hat{N}=\frac{\omega }{c_{0}}(n+\mathrm{i}k )$

erhält man die Beschreibung für die Ausbreitung des elektrischen Feldes im absorbierenden Medium:

$\vec{E}=\vec{E}_{0}e^{\mathrm{i}\left[ (n+\mathrm{i}k )\frac{\omega }{c_{0}}z-\omega t \right]}=\vec{E}_{0}e^{-k \frac{\omega }{c_{0}}z}e^{\mathrm{i}\left[ n\frac{\omega }{c_{0}}z-\omega t \right]}$

Die Intensität $I\propto|E|^2$ nimmt also exponentiell ab

$I=I_{0}\,e^{-2 k \frac{\omega}{c_{0}} z}=I_{0}\,e^{-\alpha z}$

dabei wurde der Absorptionskoeffizient $\alpha = 2 k \frac{\omega}{c_{0}}$ eingeführt.

Bemerkungen

• Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion, der Brechzahl sowie des Absorptionskoeffizienten werden im Wesentlichen korrekt wiedergegeben
• Reale Materialen weisen stets mehr als nur eine Resonanzfrequenz auf, da mehrere elektronische Übergänge existieren. Bei Festkörpern spielt die Aufspaltung in Energiebänder eine wichtige Rolle welche Übergänge möglich sind.
• Jeder elektronische Übergang liefert gemäß dessen Oszillatorstärke einen Beitrag zur elektronischen Polarisierbarkeit

Siehe auch

• Polarisierbarkeit, Polarisation, Dielektrikum

Literatur

• K. Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik, Teubner Studienbücher 1993, ISBN 3-519-23083-6