Luftdruckgradient

In einem idealen Gas üben die zufälligen molekularen Bewegungen der Gasteilchen auf die Flächen, die das Gas umschließen einen Impuls aus. Betrachtet man nun ein infinitesimal kleines Volumen δV = δxδyδz, das von Gas umgeben ist, so wirkt auf jede der 6 Flächen dementsprechend auch ein Impuls. Der Impulstransfer pro Zeit- und Flächeneinheit ist dabei nichts anderes als der Druck, der von dem Gas um das Volumen auf die Flächen des Volumens ausgeübt wird. Hierbei wird der Druck im Zentrum des Volumens als p₀ bezeichnet und der Druck an einer der Außenflächen des Volumens entspricht dann einer Taylorreihen Entwicklung um p₀

$p_0 + \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\delta x}{2} + \mathit{Terme}\,\, \mathit{hoeherer} \,\,\mathit{Ordnung}$.

Die Terme höherer Ordnung können in der weiteren Diskussion vernachlässigt werden. Die Kraft, die durch den Druck auf eine Fläche A (aufgespannt von den Längenelementen δyδz) von rechts auf das Volumen ausgeübt wird, kann gemäß dem Zusammenhang, dass Druck der Kraft pro Fläche entspricht, wie folgt dargestellt werden:

$F_{Ax}= -(p_0 + \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\delta x}{2})\delta y \delta z$

Dieser Ausdruck ist negativ, da die Kraft von rechts auf das Volumen, welches in einem kartesischen Koordinatensystem liegt, ausgeübt wird. Die Kraftkomponente, die auf das gegenüberliegende Flächenelement ausgeübt wird lautet demnach

$F_{Bx}= (p_0 + \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\delta x}{2})\delta y \delta z$.

Um die totale Kraft zu erhalten, werden jetzt die beiden Komponenten einfach summiert und man erhält

$F_x= F_{Ax}+F_{Bx}= -\frac{\partial p}{\partial x} \delta x \delta y \delta z$.

Dieser Ausdruck wird nun Druckgradient Kraft genannt, weil die totale Kraft, die auf ein Volumenelement in der entsprechenden Richtung ausgeübt wird, gerade der Ableitung des Druckes in der Richtung der Kraft entspricht. In Kombination mit dem Ausdruck m = ρδxδyδz, wobei m der Masse, ρ der Dichte und δxδyδz dem Volumen entspricht, lässt sich obige Formel weiter umformen.

$\frac{F_x}{m}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$

Es ist unschwer zu erkennen, dass für die anderen vier Flächenelemente, die das Volumen einschließen, natürlich die gleichen Gesetzmässigkeiten gelten.

$\frac{F_y}{m}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$

$\frac{F_z}{m}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}$

Die Kombination der drei Ausdrücke $\frac{F_x}{m}$, $\frac{F_y}{m}$ und $\frac{F_z}{m}$ führt jetzt zum Ausdruck für die totale Druckgradientkraft pro Masseneinheit

$\frac{\mathbf{F}}{m}= -\frac{1}{\rho} \nabla p$

Die Kraft ist somit proportional zum Druckgradienten und nicht zum Druck selbst.

Siehe auch: Gradient (Mathematik), Gradient (Meteorologie), Gradientkraft