Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums. Anschaulich gesprochen ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe G ändert.

Man unterscheidet

• die „mittlere Änderungsrate“, hier ist der Bezugszeitraum die Zeit zwischen zwei Messungen, und
• die „momentane Änderungsrate“ oder „lokale Änderungsrate“, hier ist der Bezugszeitraum vernachlässigbar kurz („unendlich klein“).

Änderungsraten unterscheiden sich von Veränderungsangaben dadurch, dass sie immer ein Verhältnis der Form „Größe pro Zeit“ mit entsprechender Einheit sind.

Berechnung und Verwendung

Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer zeitabhängigen Messgröße G zwischen zwei Zeitpunkten t₁ und t₂, also im Zeitraum Δt = t₂ − t₁. Berechnet wird sie als Quotient aus der Differenz der beiden Werte zu diesen Zeitpunkten ΔG = G(t₂) − G(t₁) und der Dauer Δt des Zeitraums: $\frac{\Delta G}{\Delta t}$

Im Zeit-Größen-Diagramm (Funktionsgraph, Schaubild) von G(t) ist die mittlere Änderungsrate zwischen t₁ und t₂ die Steigung der Sekante durch die Punkte (t₁ | G(t₁)) und (t₂ | G(t₂)) auf dem Diagramm.

Momentane Änderungsrate

Siehe auch: Differentialrechnung

Die momentane Änderungsrate ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer Messgröße G. Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses ${\mathrm{d}G \over \mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta G \over \Delta t}$ als Ableitung $G^\prime(t)$ ihrer Zeit-G-Funktion G(t) dargestellt werden.

Änderungsraten in weiterem Sinn

Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für andere Größen G(q) verwendet, die von einem anderen Parameter q als der Zeit abhängen, dann ist die mittlere Änderungsrate gleichbedeutend zu einem Differenzenquotienten, die momentane Änderungsrate gleichbedeutend zu einem Differentialquotienten der reellen Funktion G(q). In diesem Fall wird üblicherweise nicht die Bezeichnung „Rate“ verwendet, gebräuchlicher ist etwa „Gradient“ (etwa der Temperaturgradient, Luftdruckgradient etc.).

Beispiele

• Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit v(t) die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion x(t). Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt Definition der Geschwindigkeit den Unterschied von mittlerer und momentaner Änderungsrate deutlich.^[1]

• Die Steigleistung eines Luftfahrzeuges gibt an, wie viel Höhe in einer bestimmten Zeit gewonnen werden kann.

Siehe auch

• Wachstumsrate

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
• Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik: ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2

Anmerkungen

1. ↑ Der Quotient $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ aus der Veränderung Δx des Messwerts Weg in einer Zeitspanne Δt und dieser Zeitspanne ist die „mittlere Änderungsrate des Weges“ oder „Durchschnittsgeschwindigkeit“ in diesem Zeitraum. Durch experimentellen Grenzübergang - indem man immer kleinere Zeiträume betrachtet und die sich entwickelnde Tendenz feststellt - kommt man zu einer Annäherung an die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion, d. h. zur Momentangeschwindigkeit. Auch ein Radar-Geschwindigkeitsmessgerät misst die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs lediglich als mittlere Geschwindigkeit in einem allerdings sehr kleinen Zeitraum. Zu Unterschieden zwischen der experimentellen Änderungsrate und der mathematischen Ableitung deutlich siehe Gerthsen (1992), S. 9 f.